Diketahui dua buah titik A(-3,4) dan B(2,-1) . Tentukan

Persamaan lingkarannya adalah x^2 + y^2 + (28/3)x - (34/3)y + 95/3 = 0, dengan pusat (-14/3, 17/3) dan jari-jari (10√2)/3.

Pembahasan

Diketahui dua titik A(-3, 4) dan B(2, -1).
Kita mencari persamaan tempat kedudukan titik P(x, y) sehingga jarak PB sama dengan dua kali jarak PA, yaitu PB = 2PA.

Jarak antara dua titik (x1, y1) dan (x2, y2) dihitung menggunakan rumus jarak: sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2).

Jarak PA:
PA = sqrt((x - (-3))^2 + (y - 4)^2)
   = sqrt((x + 3)^2 + (y - 4)^2)

Jarak PB:
PB = sqrt((x - 2)^2 + (y - (-1))^2)
   = sqrt((x - 2)^2 + (y + 1)^2)

Sekarang, kita terapkan kondisi PB = 2PA:
sqrt((x - 2)^2 + (y + 1)^2) = 2 * sqrt((x + 3)^2 + (y - 4)^2)

Untuk menghilangkan akar kuadrat, kuadratkan kedua sisi persamaan:
(x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 4 * [(x + 3)^2 + (y - 4)^2]

Jabarkan masing-masing kuadrat:
(x^2 - 4x + 4) + (y^2 + 2y + 1) = 4 * [(x^2 + 6x + 9) + (y^2 - 8y + 16)]

Sederhanakan sisi kiri:
x^2 - 4x + y^2 + 2y + 5 = 4 * [x^2 + 6x + y^2 - 8y + 25]

Distribusikan 4 ke sisi kanan:
x^2 - 4x + y^2 + 2y + 5 = 4x^2 + 24x + 4y^2 - 32y + 100

Pindahkan semua suku ke satu sisi untuk membentuk persamaan standar lingkaran (misalnya, ke sisi kanan):
0 = (4x^2 - x^2) + (4y^2 - y^2) + (24x - (-4x)) + (-32y - 2y) + (100 - 5)
0 = 3x^2 + 3y^2 + 28x - 34y + 95

Bagi seluruh persamaan dengan 3 untuk mendapatkan bentuk standar dengan koefisien x^2 dan y^2 adalah 1:
x^2 + y^2 + (28/3)x - (34/3)y + 95/3 = 0

Untuk menemukan pusat dan jari-jari, kita gunakan metode melengkapi kuadrat. Persamaan lingkaran umum adalah x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0, dengan pusat (-D/2, -E/2) dan jari-jari r = sqrt((D/2)^2 + (E/2)^2 - F).

Dalam kasus ini, D = 28/3, E = -34/3, dan F = 95/3.

Pusat (h, k):
h = -D/2 = -(28/3) / 2 = -28/6 = -14/3
k = -E/2 = -(-34/3) / 2 = 34/6 = 17/3

Pusat lingkaran adalah (-14/3, 17/3).

Jari-jari (r):
r^2 = (h)^2 + (k)^2 - F
    = (-14/3)^2 + (17/3)^2 - 95/3
    = (196/9) + (289/9) - (95 * 3) / (3 * 3)
    = (196 + 289 - 285) / 9
    = (485 - 285) / 9
    = 200 / 9

r = sqrt(200 / 9)
  = sqrt(200) / sqrt(9)
  = sqrt(100 * 2) / 3
  = (10 * sqrt(2)) / 3

Jadi, persamaan tempat kedudukan P(x, y) adalah lingkaran dengan pusat (-14/3, 17/3) dan jari-jari (10√2)/3.