Diketahui (f^-1 o g^-1 o h^-1)(x)=3 x+1 dan(h o

1/7

Pembahasan

Kita diberikan informasi berikut:
1. (f⁻¹ ∘ g⁻¹ ∘ h⁻¹)(x) = 3x + 1
2. (h ∘ g)(x) = (2x + 1) / (x - 1), untuk x ≠ 1

Kita tahu bahwa sifat komposisi fungsi invers adalah (f⁻¹ ∘ g⁻¹ ∘ h⁻¹) = (h ∘ g)⁻¹.
Jadi, kita dapat menulis:
(h ∘ g)⁻¹(x) = 3x + 1

Untuk mencari nilai f(-3), kita perlu mencari invers dari fungsi (h ∘ g)(x) terlebih dahulu.
Misalkan y = (h ∘ g)(x) = (2x + 1) / (x - 1).
Untuk mencari inversnya, kita tukar x dan y, lalu selesaikan untuk y:
x = (2y + 1) / (y - 1)
x(y - 1) = 2y + 1
xy - x = 2y + 1
xy - 2y = x + 1
y(x - 2) = x + 1
y = (x + 1) / (x - 2)

Jadi, (h ∘ g)⁻¹(x) = (x + 1) / (x - 2).

Sekarang kita samakan dengan informasi yang diberikan:
(h ∘ g)⁻¹(x) = 3x + 1
(x + 1) / (x - 2) = 3x + 1

Ini tampaknya ada kontradiksi atau informasi yang salah dalam soal, karena kita memiliki dua ekspresi berbeda untuk (h ∘ g)⁻¹(x). Namun, jika kita menginterpretasikan soal sebagai:
(f⁻¹ ∘ g⁻¹ ∘ h⁻¹)(x) = (h ∘ g)⁻¹(x) = 3x + 1,
maka kita dapat mencari nilai x sehingga (h ∘ g)(x) = -3 untuk menemukan nilai g⁻¹(h⁻¹(-3)). Namun, kita perlu mencari f(-3).

Jika kita menganggap bahwa (f⁻¹ ∘ g⁻¹ ∘ h⁻¹)(x) = 3x + 1 adalah informasi yang benar tentang komposisi invers tersebut, dan kita ingin mencari f(-3), kita perlu informasi tambahan atau klarifikasi tentang bagaimana menemukan nilai f(-3) dari komposisi ini dan (h ∘ g)(x) yang diberikan.

Namun, mari kita coba pendekatan lain jika soal mengimplikasikan:
Misalkan k(x) = (h ∘ g)(x) = (2x + 1) / (x - 1).
Maka k⁻¹(x) = (x + 1) / (x - 2).
Kita diberikan (f⁻¹ ∘ k⁻¹)(x) = 3x + 1.
Ini berarti f⁻¹(k⁻¹(x)) = 3x + 1.

Kita perlu mencari nilai x sehingga k⁻¹(x) = -3 untuk memulai.
(x + 1) / (x - 2) = -3
x + 1 = -3(x - 2)
x + 1 = -3x + 6
x + 3x = 6 - 1
4x = 5
x = 5/4

Jika k⁻¹(5/4) = -3, maka:
f⁻¹(-3) = 3(5/4) + 1
f⁻¹(-3) = 15/4 + 1
f⁻¹(-3) = 15/4 + 4/4
f⁻¹(-3) = 19/4

Jika f⁻¹(-3) = 19/4, maka untuk mencari f(-3), kita perlu mencari nilai y sedemikian sehingga f⁻¹(y) = -3.
Ini tidak membantu kita secara langsung menemukan f(-3).

Mari kita asumsikan ada kesalahan ketik dalam soal dan seharusnya yang ditanyakan adalah nilai f(z) untuk suatu z, atau ada informasi tambahan.

Jika kita mengikuti alur bahwa (h ∘ g)⁻¹(x) = 3x + 1, maka kita dapatkan kontradiksi seperti di atas.

Mari kita asumsikan soal benar seperti adanya dan coba mencari f(-3) dengan cara lain. Sifat komposisi invers: (f ∘ g ∘ h)(x) = (h⁻¹ ∘ g⁻¹ ∘ f⁻¹)(x).
Kita punya (f⁻¹ ∘ g⁻¹ ∘ h⁻¹)(x) = 3x + 1.
Kita juga punya (h ∘ g)(x) = (2x+1)/(x-1).
Kita tahu (h ∘ g)⁻¹(x) = (x+1)/(x-2).

Jika kita misalkan A = g⁻¹ ∘ h⁻¹, maka f⁻¹(A(x)) = 3x + 1.
Kita juga tahu bahwa A(x) = (h ∘ g)⁻¹(x) = (x+1)/(x-2).
Jadi, f⁻¹((x+1)/(x-2)) = 3x + 1.

Kita ingin mencari f(-3). Ini berarti kita perlu mencari nilai z sehingga f(z) = -3. Atau, kita perlu mencari nilai input untuk f⁻¹ yang menghasilkan -3.

Misalkan input untuk f⁻¹ adalah W, jadi kita ingin f⁻¹(W) = -3. Maka f(-3) = W.
Kita memiliki f⁻¹((x+1)/(x-2)) = 3x + 1.
Agar inputnya menjadi -3, kita atur (x+1)/(x-2) = -3.

x + 1 = -3(x - 2)
x + 1 = -3x + 6
4x = 5
x = 5/4

Jadi, ketika x = 5/4, input f⁻¹ adalah -3.
Sekarang kita substitusikan x = 5/4 ke dalam outputnya:
f⁻¹(-3) = 3(5/4) + 1
f⁻¹(-3) = 15/4 + 4/4
f⁻¹(-3) = 19/4

Ini berarti bahwa f⁻¹(-3) = 19/4.
Untuk mencari f(-3), kita perlu mencari nilai y sehingga f⁻¹(y) = -3. Ini adalah informasi yang kita miliki, dan kita dapatkan y = 19/4.

Jika f⁻¹(-3) = 19/4, maka f(19/4) = -3.
Ini bukan nilai f(-3) yang kita cari.

Kemungkinan besar ada kesalahan dalam pemahaman soal atau soal itu sendiri. Namun, jika kita mengasumsikan bahwa soal ingin menanyakan nilai dari f⁻¹(-3) berdasarkan komposisi yang diberikan, maka jawabannya adalah 19/4.

Jika kita mengasumsikan bahwa (f⁻¹ ∘ g⁻¹ ∘ h⁻¹)(x) = (h ∘ g)⁻¹(x) = 3x + 1.
Dan kita tahu (h ∘ g)⁻¹(x) = (x+1)/(x-2).

Maka, kita punya (x+1)/(x-2) = 3x + 1.
Ini hanya berlaku untuk nilai x tertentu, bukan identitas.

Mari kita lihat kembali properti: (f ∘ g)⁻¹ = g⁻¹ ∘ f⁻¹.
Maka (f⁻¹ ∘ g⁻¹ ∘ h⁻¹) = ((h ∘ g ∘ f)⁻¹) 
Ini tidak membantu.

Satu-satunya cara untuk mendapatkan f(-3) adalah jika kita bisa mendapatkan ekspresi untuk f(x). 
Kita punya f⁻¹(k⁻¹(x)) = 3x + 1, di mana k = h ∘ g.
Jadi f⁻¹((x+1)/(x-2)) = 3x + 1.
Untuk mencari f(-3), kita perlu mencari nilai W sehingga f(W) = -3. Ini berarti f⁻¹(-3) = W.

Kita perlu mencari nilai x sehingga input dari f⁻¹, yaitu (x+1)/(x-2), sama dengan -3.

(x + 1) / (x - 2) = -3
x + 1 = -3(x - 2)
x + 1 = -3x + 6
4x = 5
x = 5/4

Jadi, ketika x = 5/4, (x+1)/(x-2) = -3.
Kita substitusikan x = 5/4 ke dalam ekspresi yang diberikan untuk f⁻¹:
f⁻¹(-3) = 3(5/4) + 1
f⁻¹(-3) = 15/4 + 4/4
f⁻¹(-3) = 19/4

Ini berarti f⁻¹(-3) = 19/4. Jika f⁻¹(-3) = 19/4, maka f(19/4) = -3.
Soal meminta nilai f(-3).

Jika kita menganggap bahwa input ke f adalah -3, maka kita perlu mencari nilai x sehingga f⁻¹(x) = -3.
Kita punya f⁻¹((x+1)/(x-2)) = 3x + 1.
Kita perlu mencari nilai z sedemikian sehingga f⁻¹(z) = -3.

Ini berarti 3x + 1 = -3.
3x = -4
x = -4/3

Jika 3x + 1 = -3, maka kita perlu mencari nilai dari (x+1)/(x-2) pada x = -4/3.

Input f⁻¹ = (-4/3 + 1) / (-4/3 - 2)
= (-4/3 + 3/3) / (-4/3 - 6/3)
= (-1/3) / (-7/3)
= (-1/3) * (-3/7)
= 1/7

Jadi, f⁻¹(1/7) = -3.
Maka f(-3) = 1/7.

Mari kita cek kembali:
(f⁻¹ ∘ g⁻¹ ∘ h⁻¹)(x) = f⁻¹((g⁻¹ ∘ h⁻¹)(x))
Kita tahu (h ∘ g)⁻¹(x) = g⁻¹ ∘ h⁻¹(x) = (x+1)/(x-2).
Jadi, f⁻¹((x+1)/(x-2)) = 3x + 1.
Kita ingin mencari f(-3). Ini berarti kita perlu mencari nilai y sedemikian sehingga f(y) = -3. Ini sama dengan mencari nilai f⁻¹(-3).

Kita perlu mencari nilai x sedemikian sehingga input dari f⁻¹, yaitu (x+1)/(x-2), sama dengan -3.
(x+1)/(x-2) = -3
x+1 = -3(x-2)
x+1 = -3x+6
4x = 5
x = 5/4.

Maka, f⁻¹(-3) = 3(5/4) + 1 = 15/4 + 4/4 = 19/4.
Ini berarti f⁻¹(-3) = 19/4.
Jadi, f(19/4) = -3.

Jika yang ditanyakan adalah nilai dari f(-3), maka kita perlu mencari nilai x sedemikian sehingga f(x) = -3. Ini berarti f⁻¹(-3) = x. Tapi kita sudah punya f⁻¹(-3) = 19/4.

Ada kemungkinan besar soal ini memiliki kesalahan penulisan atau informasi yang tidak konsisten. Namun, jika kita mengikuti logika bahwa kita perlu mencari nilai 'a' sehingga f(a) = -3, yang berarti f⁻¹(-3) = a.

Kita punya f⁻¹((x+1)/(x-2)) = 3x + 1.
Kita ingin mencari nilai 'a' sehingga f⁻¹(a) = -3.
Ini berarti kita perlu mencari nilai x sedemikian sehingga 3x + 1 = -3.
3x = -4
x = -4/3.

Maka, nilai 'a' yang dicari adalah nilai dari (x+1)/(x-2) ketika x = -4/3.

a = (-4/3 + 1) / (-4/3 - 2)
a = (-4/3 + 3/3) / (-4/3 - 6/3)
a = (-1/3) / (-7/3)
a = 1/7.

Jadi, f(-3) = 1/7.