Diketahui f(x^(-1))=3x-4, dan g(x)=4x-5. Hitunglah nilai

a. (x + 5)/4, b. x.

Pembahasan

Diketahui:
Fungsi komposisi: f(x^(-1)) = 3x - 4
Fungsi g(x) = 4x - 5

Langkah 1: Cari invers dari f(x) dan g(x).
Untuk mencari f(x) dari f(x^(-1)), substitusikan x dengan 1/y:
Misalkan y = x^(-1), maka x = y^(-1) = 1/y.
Jadi, f(y) = 3(1/y) - 4
f(y) = 3/y - 4
Ganti y dengan x untuk mendapatkan f(x):
f(x) = 3/x - 4

Sekarang cari invers dari f(x), yaitu f^(-1)(x):
Misalkan y = 3/x - 4
y + 4 = 3/x
x = 3 / (y + 4)
Ganti y dengan x:
f^(-1)(x) = 3 / (x + 4)

Untuk mencari invers dari g(x), yaitu g^(-1)(x):
Misalkan y = 4x - 5
y + 5 = 4x
x = (y + 5) / 4
Ganti y dengan x:
g^(-1)(x) = (x + 5) / 4

Langkah 2: Hitung komposisi fungsi.

a. (g^(-1) o f o f^(-1))(x)
   Ini berarti g^(-1)(f(f^(-1)(x))).
   Pertama, hitung f(f^(-1)(x)). Karena f dan f^(-1) adalah fungsi invers, f(f^(-1)(x)) = x.
   Jadi, ekspresi menjadi g^(-1)(x).
   g^(-1)(x) = (x + 5) / 4
   Maka, (g^(-1) o f o f^(-1))(x) = (x + 5) / 4.

b. (g^(-1) o f^(-1) o f o g)(x)
   Ini berarti g^(-1)(f^(-1)(f(g(x)))).
   Pertama, hitung f(g(x)):
   f(g(x)) = f(4x - 5)
   f(4x - 5) = 3 / (4x - 5) - 4

   Selanjutnya, hitung f^(-1)(f(g(x))):
   f^(-1)(3 / (4x - 5) - 4)
   Substitusikan (3 / (4x - 5) - 4) ke dalam f^(-1)(x) = 3 / (x + 4).
   Ini akan menjadi rumit. Mari kita gunakan sifat invers lagi.
   Perhatikan bahwa f^(-1)(f(g(x))) = g(x).
   Jadi, ekspresi menjadi g^(-1)(g(x)).
   Karena g dan g^(-1) adalah fungsi invers, g^(-1)(g(x)) = x.

Maka, (g^(-1) o f^(-1) o f o g)(x) = x.