Jika f(x)=(2 x-3)^(7)-(2 x-3)^(5)+(2 x-3)^(3) , maka... (A)

Fungsi f(x) selalu naik pada R.

Pembahasan

Untuk menentukan perilaku fungsi f(x) = (2x-3)^7 - (2x-3)^5 + (2x-3)^3, kita perlu menganalisis turunan pertamanya. Misalkan u = 2x - 3. Maka f(x) dapat ditulis sebagai g(u) = u^7 - u^5 + u^3.

Langkah 1: Cari turunan g terhadap u.
dg/du = 7u^6 - 5u^4 + 3u^2

Langkah 2: Cari turunan u terhadap x.
du/dx = 2

Langkah 3: Gunakan aturan rantai untuk mencari turunan f terhadap x.
df/dx = dg/du * du/dx
df/dx = (7u^6 - 5u^4 + 3u^2) * 2
df/dx = 2(7(2x-3)^6 - 5(2x-3)^4 + 3(2x-3)^2)

Sekarang kita analisis pilihan jawaban:
(A) f selalu naik pada R.
Agar f selalu naik, df/dx harus selalu positif. Perhatikan bahwa (2x-3)^2, (2x-3)^4, dan (2x-3)^6 selalu non-negatif. Faktor 3u^2 akan selalu positif jika u bukan nol. Namun, faktor 7u^6 - 5u^4 + 3u^2 bisa saja negatif untuk nilai u tertentu. Misalnya, jika u^2 = 1, maka 7 - 5 + 3 = 5 > 0. Jika u^2 sangat kecil, misalnya u^2 = 0.1, maka 7(0.01) - 5(0.0001) + 3(0.1) = 0.07 - 0.0005 + 0.3 = 0.3695 > 0. Namun, kita perlu memastikan bahwa ekspresi ini selalu positif. 
Mari kita perhatikan suku-suku dalam kurung: 7u^6 - 5u^4 + 3u^2 = u^2(7u^4 - 5u^2 + 3). Kuadratik dalam u^2, yaitu 7t^2 - 5t + 3 (dengan t = u^2), memiliki diskriminan D = (-5)^2 - 4(7)(3) = 25 - 84 = -59. Karena koefisien u^4 (yaitu 7) positif dan diskriminannya negatif, maka 7u^4 - 5u^2 + 3 selalu positif untuk semua nilai u. Karena u^2 juga selalu non-negatif, maka u^2(7u^4 - 5u^2 + 3) selalu non-negatif. 
Jadi, df/dx = 2 * u^2(7u^4 - 5u^2 + 3) selalu non-negatif. Ini berarti f selalu naik atau stasioner. Karena ada kemungkinan df/dx = 0 (ketika u = 0, yaitu x = 3/2), maka f tidak selalu naik secara monoton ketat, tetapi f tidak pernah turun.

(B) f tidak pernah turun.
Karena df/dx >= 0 untuk semua x, maka f tidak pernah turun. Pernyataan ini benar.

(C) f tidak memiliki maksimum relatif.
Maksimum relatif terjadi jika turunan pertama berubah dari positif ke negatif. Karena df/dx selalu non-negatif, tidak ada perubahan dari positif ke negatif. df/dx = 0 hanya terjadi ketika u = 0 (x = 3/2). Di sekitar x = 3/2, df/dx tetap positif (karena faktor u^2(7u^4 - 5u^2 + 3) selalu positif atau nol). Jadi, tidak ada maksimum relatif.
Pernyataan ini benar.

(D) f minimum relatif pada x = 3/2.
Titik stasioner terjadi ketika df/dx = 0, yaitu ketika u = 0 atau 2x - 3 = 0, yang berarti x = 3/2. Untuk menentukan apakah ini minimum relatif, kita bisa menggunakan uji turunan kedua atau melihat tanda turunan pertama di sekitar titik tersebut. Kita sudah tahu bahwa df/dx selalu non-negatif. Di x = 3/2, df/dx = 0. Untuk x sedikit lebih kecil dari 3/2, u negatif, tetapi u^2 positif, sehingga df/dx positif. Untuk x sedikit lebih besar dari 3/2, u positif, dan df/dx juga positif. Karena turunan pertama tidak berubah tanda dari negatif ke positif, titik x = 3/2 adalah titik belok horizontal, bukan minimum relatif.
Pernyataan ini salah.

Karena soal meminta "maka..." dan biasanya hanya ada satu jawaban yang benar, mari kita tinjau kembali. Jika f tidak pernah turun, ini menyiratkan bahwa f selalu naik atau konstan. Dalam kasus ini, karena f'(x) = 0 hanya di satu titik (x=3/2) dan positif di tempat lain, maka f terus meningkat. Pilihan (A) mengatakan 'selalu naik pada R', ini sedikit ambigu apakah berarti monoton naik ketat atau tidak pernah turun. Pilihan (B) 'tidak pernah turun' lebih tepat menggambarkan f'(x) >= 0. Pilihan (C) 'tidak memiliki maksimum relatif' juga benar karena f'(x) tidak pernah berubah dari positif ke negatif. Namun, jika kita harus memilih satu, mari kita pertimbangkan makna matematisnya.

Dalam banyak konteks, 'selalu naik' mengacu pada fungsi monoton naik ketat (f'(x) > 0). Fungsi kita memiliki f'(x) >= 0. Fungsi yang f'(x) >= 0 dikatakan 'naik' atau 'tidak pernah turun'.

Jika kita melihat pilihan A, 'f selalu naik pada R', ini paling sesuai dengan fakta bahwa f'(x) >= 0. Meskipun ada titik di mana f'(x) = 0, fungsi tersebut secara keseluruhan menunjukkan tren peningkatan.

Mari kita evaluasi ulang.
Turunan f'(x) = 2(7(2x-3)^6 - 5(2x-3)^4 + 3(2x-3)^2). 
Misalkan y = (2x-3)^2. Maka f'(x) = 2(7y^3 - 5y^2 + 3y) = 2y(7y^2 - 5y + 3).
Kita tahu bahwa 7y^2 - 5y + 3 selalu positif karena diskriminannya negatif dan koefisien y^2 positif. Juga y = (2x-3)^2 selalu >= 0.
Jadi, f'(x) >= 0 untuk semua x. Ini berarti f(x) adalah fungsi yang tidak pernah turun (monotonik naik).

Pilihan (A) 'f selalu naik pada R'. Ini sering diartikan sebagai monotonik naik ketat. Namun, kadang juga diartikan sebagai 'tidak pernah turun'.
Pilihan (B) 'f tidak pernah turun'. Ini adalah deskripsi yang paling akurat dari f'(x) >= 0.
Pilihan (C) 'f tidak memiliki maksimum relatif'. Ini benar karena f'(x) tidak pernah berubah dari positif ke negatif.
Pilihan (D) 'f minimum relatif pada x=(3)/2'. Ini salah karena di x=3/2, f'(x)=0 tetapi tidak ada perubahan tanda. Ini adalah titik belok.

Jika kita harus memilih satu jawaban terbaik, 'f tidak pernah turun' (B) adalah pernyataan yang paling tepat secara matematis berdasarkan f'(x) >= 0. Namun, dalam konteks soal pilihan ganda, terkadang 'selalu naik' digunakan untuk mencakup kasus f'(x) >= 0. 

Mari kita pertimbangkan kemungkinan maksud pembuat soal. Seringkali, jika f'(x) >= 0 dan hanya nol pada beberapa titik terisolasi, fungsi tersebut dianggap 'naik'.

Jika kita memilih (A), kita mengasumsikan 'naik' berarti 'tidak pernah turun'.
Jika kita memilih (B), ini adalah pernyataan yang lebih tepat secara teknis.
Jika kita memilih (C), ini juga benar tetapi mungkin bukan fokus utama.

Dalam banyak buku teks, fungsi f dikatakan naik pada interval jika f'(x) >= 0 pada interval tersebut. Jadi, f selalu naik pada R.

Mari kita cek lagi minimum relatif. Titik (3/2, f(3/2)) adalah titik stasioner. Karena f'(x) >= 0 di kedua sisi x=3/2, ini adalah titik belok horizontal, bukan minimum atau maksimum relatif.

Jadi, pilihan (A) dan (B) tampaknya benar. Namun, 'tidak pernah turun' adalah deskripsi yang lebih tepat untuk f'(x) >= 0. Jika A berarti monotonik naik ketat, maka A salah. Jika A berarti tidak pernah turun, maka A benar.

Dalam konteks ujian, jika ada pilihan yang lebih spesifik dan akurat, itu biasanya yang dipilih. 'Tidak pernah turun' secara langsung menggambarkan sifat f'(x) >= 0. 'Selalu naik' bisa ambigu.

Namun, jika kita lihat struktur soal, seringkali ada satu 'paling benar'. Mari kita asumsikan 'selalu naik' mencakup kasus f'(x) >= 0. Maka (A) benar. (B) juga benar. (C) juga benar. Ini tidak biasa untuk soal pilihan ganda yang baik.

Mari kita fokus pada perbedaan antara (A) dan (B). Jika f selalu naik, itu berarti untuk setiap x1 < x2, f(x1) <= f(x2). Jika f tidak pernah turun, itu berarti untuk setiap x1 < x2, f(x1) <= f(x2). Kedua pernyataan ini ekuivalen.

Kemungkinan ada nuansa dalam penggunaan istilah. 'Selalu naik' bisa menyiratkan peningkatan yang berkelanjutan, meskipun mungkin sesaat datar. 'Tidak pernah turun' adalah pernyataan yang lebih netral yang hanya melarang penurunan.

Jika kita lihat kembali turunan f'(x) = 2 * u^2 * (7u^4 - 5u^2 + 3).
Di u=0 (x=3/2), f'(x)=0. Di sekitar x=3/2, f'(x) > 0. Jadi, fungsi naik sebelum dan sesudah x=3/2.

Pertimbangkan y = x^3. f'(x) = 3x^2. f'(0)=0. Fungsi ini selalu naik. Jadi, 'selalu naik' bisa mencakup kasus turunan nol di satu titik.

Dalam kasus ini, karena f'(x) >= 0 untuk semua x, fungsi f(x) adalah fungsi yang monotonik naik (atau tidak pernah turun). Pilihan (A) dan (B) keduanya benar. Pilihan (C) juga benar. 

Jika kita harus memilih satu, mari kita pertimbangkan apa yang paling mungkin menjadi fokus pengujian: perilaku monotonisitas.

Perhatikan bentuk f(x). Ini adalah polinomial dalam (2x-3). Misalkan g(y) = y^7 - y^5 + y^3. g'(y) = 7y^6 - 5y^4 + 3y^2 = y^2(7y^4 - 5y^2 + 3). Karena 7y^4 - 5y^2 + 3 selalu positif, g'(y) >= 0. Ini berarti g(y) adalah fungsi yang tidak pernah turun. Karena y = 2x-3 adalah fungsi yang selalu naik, komposisi f(x) = g(2x-3) juga merupakan fungsi yang tidak pernah turun. Jadi, (B) adalah pernyataan yang paling tepat.

Jika (B) benar, apakah (A) juga benar? Ya, jika 'selalu naik' diartikan sebagai 'tidak pernah turun'.
Apakah (C) benar? Ya, karena f'(x) tidak pernah berubah dari positif ke negatif.

Mungkin ada kesalahan dalam soal atau pilihan jawaban jika lebih dari satu benar. Namun, jika kita harus memilih yang paling spesifik tentang perilaku monotonisitas, (B) adalah kandidat kuat.

Mari kita asumsikan bahwa ada satu jawaban yang 'paling benar'. Seringkali, ketika f'(x) >= 0, pernyataan 'f selalu naik' diterima. Namun, 'f tidak pernah turun' adalah deskripsi yang lebih tepat secara teknis untuk f'(x) >= 0.

Jika kita lihat contoh standar, y=x^3 memiliki turunan y'=3x^2. Di x=0, y'=0. Fungsi y=x^3 dikatakan 'naik pada R' atau 'monoton naik pada R'.

Jadi, kemungkinan besar (A) adalah jawaban yang dimaksud.
Mari kita pastikan lagi tentang (C). Maksimum relatif terjadi di c jika f'(c)=0 dan f' berubah dari positif ke negatif. Di sini f'(x) tidak pernah negatif, jadi tidak ada perubahan dari positif ke negatif. Jadi, tidak ada maksimum relatif. (C) benar.

Ada kemungkinan soal ini dirancang untuk menguji pemahaman perbedaan antara 'naik' (f'>=0) dan 'naik ketat' (f'>0).

Jika kita melihat opsi jawaban lain:
(A) f selalu naik pada R (f'(x) >= 0)
(B) f tidak pernah turun (f'(x) >= 0)
(C) f tidak memiliki maksimum relatif (Tidak ada perubahan f' dari + ke -)
(D) f minimum relatif pada x=(3)/2 (Salah, karena f'(x) tidak berubah dari - ke +)

Pilihan A dan B pada dasarnya menyatakan hal yang sama dalam banyak konteks kalkulus. Pilihan C juga benar.

Namun, jika kita harus memilih satu 'kesimpulan' dari bentuk f(x), fokus utamanya adalah pada monotonisitas.

Mari kita coba cari sumber yang membedakan 'selalu naik' dan 'tidak pernah turun'.

Dalam banyak literatur, 'fungsi naik' berarti f(x1) <= f(x2) jika x1 < x2 (ekuivalen dengan f'(x) >= 0). 'Fungsi turun' berarti f(x1) >= f(x2) jika x1 < x2 (ekuivalen dengan f'(x) <= 0).
'Fungsi naik ketat' berarti f(x1) < f(x2) jika x1 < x2 (ekuivalen dengan f'(x) > 0).

Jadi, f'(x) >= 0 berarti 'fungsi naik' atau 'tidak pernah turun'.
Pilihan (A) 'f selalu naik pada R'. Pilihan (B) 'f tidak pernah turun'. Keduanya benar dan ekuivalen.

Kemungkinan besar, pembuat soal menganggap 'selalu naik' sebagai jawaban yang paling umum untuk fungsi dengan turunan non-negatif.

Mari kita pilih (A) sebagai jawaban yang paling mungkin dimaksudkan, meskipun (B) dan (C) juga benar.

Periksa kembali soal aslinya. Jika ini adalah soal pilihan ganda dari sumber tertentu, konteksnya bisa membantu. Tanpa itu, kita harus memilih yang paling 'standar'.

Dalam konteks pengajaran, seringkali ketika f'(x) >= 0, kita menyimpulkan bahwa fungsi tersebut 'naik'.
Jadi, mari kita pilih (A).