Diketahui f(x)=2x/(3x-1) ;x =/= 1/3 dan

(f o g)^-1(x) = (4x - 1) / (-5x + 4).

Pembahasan

Diketahui:
f(x) = 2x / (3x - 1), dengan x ≠ 1/3
g^-1(x) = (1 + 5x) / (2x - 4), dengan x ≠ 2

Kita perlu mencari rumus (f o g)^-1(x).
Sifat invers komposisi fungsi menyatakan bahwa (f o g)^-1(x) = (g^-1 o f^-1)(x).

Langkah 1: Cari invers dari f(x), yaitu f^-1(x).
Misalkan y = f(x) = 2x / (3x - 1)
Untuk mencari invers, tukar x dan y, lalu selesaikan untuk y.
x = 2y / (3y - 1)
x(3y - 1) = 2y
3xy - x = 2y
3xy - 2y = x
y(3x - 2) = x
y = x / (3x - 2)
Jadi, f^-1(x) = x / (3x - 2), dengan x ≠ 2/3.

Langkah 2: Cari invers dari g^-1(x), yaitu g(x).
Kita sudah diberikan g^-1(x) = (1 + 5x) / (2x - 4).
Misalkan y = g^-1(x) = (1 + 5x) / (2x - 4).
Untuk mencari invers g(x), tukar x dan y, lalu selesaikan untuk y.
x = (1 + 5y) / (2y - 4)
x(2y - 4) = 1 + 5y
2xy - 4x = 1 + 5y
2xy - 5y = 1 + 4x
y(2x - 5) = 1 + 4x
y = (1 + 4x) / (2x - 5)
Jadi, g(x) = (1 + 4x) / (2x - 5), dengan x ≠ 5/2.

Langkah 3: Hitung (g^-1 o f^-1)(x) = g^-1(f^-1(x)).
Kita punya g^-1(x) = (1 + 5x) / (2x - 4) dan f^-1(x) = x / (3x - 2).
Substitusikan f^-1(x) ke dalam g^-1(x):
(g^-1 o f^-1)(x) = g^-1(f^-1(x))
= g^-1( x / (3x - 2) )
= [1 + 5 * (x / (3x - 2))] / [2 * (x / (3x - 2)) - 4]

Sekarang, sederhanakan ekspresi tersebut:

Pembilang:
1 + 5x / (3x - 2) = (3x - 2) / (3x - 2) + 5x / (3x - 2) = (3x - 2 + 5x) / (3x - 2) = (8x - 2) / (3x - 2)

Penyebut:
2x / (3x - 2) - 4 = 2x / (3x - 2) - 4(3x - 2) / (3x - 2)
= (2x - (12x - 8)) / (3x - 2)
= (2x - 12x + 8) / (3x - 2)
= (-10x + 8) / (3x - 2)

Sekarang bagi pembilang dengan penyebut:
(f o g)^-1(x) = [(8x - 2) / (3x - 2)] / [(-10x + 8) / (3x - 2)]
= (8x - 2) / (-10x + 8)

Kita bisa menyederhanakan dengan membagi pembilang dan penyebut dengan 2:
(f o g)^-1(x) = (4x - 1) / (-5x + 4)

Domain untuk f^-1(x) adalah x ≠ 2/3. Domain untuk g^-1(x) adalah x ≠ 2.
Kita perlu memastikan bahwa input ke g^-1, yaitu f^-1(x), tidak sama dengan 2.

f^-1(x) = x / (3x - 2) ≠ 2
x ≠ 2(3x - 2)
x ≠ 6x - 4
4 ≠ 5x
x ≠ 4/5

Jadi, domain dari (f o g)^-1(x) adalah x ≠ 2/3 dan x ≠ 4/5. Penyebut (-5x + 4) juga tidak boleh nol, yang berarti x ≠ 4/5.

Rumus (f o g)^-1(x) adalah (4x - 1) / (-5x + 4).