Diketahui f(x)=(a x-2)/(x+3), x =/=-3 . Jika f(f(x))=x ,

4

Pembahasan

Diketahui fungsi f(x) = (ax - 2) / (x + 3), dengan x ≠ -3. Kondisi f(f(x)) = x berarti bahwa f(x) adalah fungsi invers dari dirinya sendiri, atau f(x) = f⁻¹(x).

Untuk mencari fungsi invers f⁻¹(x), kita misalkan y = f(x):
y = (ax - 2) / (x + 3)

Langkah 1: Tukar x dan y:
x = (ay - 2) / (y + 3)

Langkah 2: Selesaikan untuk y:
x(y + 3) = ay - 2
xy + 3x = ay - 2
xy - ay = -3x - 2
y(x - a) = -3x - 2
y = (-3x - 2) / (x - a)

Maka, f⁻¹(x) = (-3x - 2) / (x - a).

Karena f(x) = f⁻¹(x), maka:
(ax - 2) / (x + 3) = (-3x - 2) / (x - a)

Untuk kesamaan kedua fungsi rasional ini, koefisien x pada pembilang dan penyebut harus berbanding sama, dan konstanta juga harus berbanding sama. Dengan membandingkan pembilang dan penyebut, kita dapat melihat bahwa agar kedua fungsi ini identik, kita perlu:
a = -3
dan
-2 = -2 (ini sudah sesuai)

Atau, kita bisa menggunakan perbandingan: a/(-3) = -2/(-a) = -2/3
Dari a/(-3) = -2/3, kita dapatkan a = (-3) * (-2/3) = 2. Ini kontradiksi.

Mari kita periksa kembali. Agar (ax - 2) / (x + 3) = (-3x - 2) / (x - a), maka kita harus memiliki ax - 2 = k(-3x - 2) dan x + 3 = k(x - a) untuk suatu konstanta k.
Dari x + 3 = k(x - a), kita dapatkan k = (x+3)/(x-a).
Substitusikan ke persamaan pembilang: ax - 2 = (x+3)/(x-a) * (-3x - 2).
(ax - 2)(x - a) = (x + 3)(-3x - 2)
ax^2 - a^2x - 2x + 2a = -3x^2 - 2x - 9x - 6
ax^2 - a^2x - 2x + 2a = -3x^2 - 11x - 6

Agar persamaan ini berlaku untuk semua x, koefisien dari x^2 harus sama, koefisien dari x harus sama, dan konstanta harus sama.
Koefisien x^2: a = -3
Koefisien x: -a^2 - 2 = -11 => -a^2 = -9 => a^2 = 9 => a = 3 atau a = -3
Konstanta: 2a = -6 => a = -3

Nilai yang memenuhi ketiga kondisi tersebut adalah a = -3.

Sekarang kita perlu mencari nilai f⁻¹(a+1). Karena a = -3, maka a+1 = -3 + 1 = -2.
Kita perlu mencari f⁻¹(-2).

Karena f(x) = f⁻¹(x), kita bisa menggunakan bentuk f(x) untuk mencari f⁻¹(-2). Atau, kita bisa gunakan bentuk f⁻¹(x) yang sudah kita cari:
f⁻¹(x) = (-3x - 2) / (x - a)
Substitusikan x = -2 dan a = -3:
f⁻¹(-2) = (-3*(-2) - 2) / (-2 - (-3))
= (6 - 2) / (-2 + 3)
= 4 / 1
= 4

Jadi, nilai f⁻¹(a+1) adalah 4.