Diketahui f(x)=-x^2, g(x)=x^2+6, dan

Dengan asumsi (h o g o f)(x) = 5x^8 + 60x^4 + 180, maka h(x) = 5x^2.

Pembahasan

Kita diberikan fungsi f(x) = -x^2, g(x) = x^2 + 6, dan komposisi fungsi (h o g o f)(x) = 5x^8 + 60x + 180.
Komposisi fungsi (h o g o f)(x) berarti h(g(f(x))). 

Langkah 1: Hitung g(f(x)).
Substitusikan f(x) ke dalam g(x):
g(f(x)) = g(-x^2)
Karena g(x) = x^2 + 6, maka:
g(-x^2) = (-x^2)^2 + 6
g(f(x)) = x^4 + 6

Langkah 2: Hitung h(g(f(x))).
Kita tahu bahwa (h o g o f)(x) = h(g(f(x))) = 5x^8 + 60x + 180.
Kita juga sudah menemukan bahwa g(f(x)) = x^4 + 6.
Jadi, kita dapat menuliskan:
h(x^4 + 6) = 5x^8 + 60x + 180

Langkah 3: Tentukan h(x).
Misalkan u = x^4 + 6. Kita perlu mengekspresikan x^8 dan x dalam bentuk u.
Dari u = x^4 + 6, kita dapatkan x^4 = u - 6.
Maka, x^8 = (x^4)^2 = (u - 6)^2 = u^2 - 12u + 36.

Namun, kita memiliki suku '60x' dalam ekspresi (h o g o f)(x) yang tidak dapat kita ubah menjadi bentuk 'u' dengan mudah karena ada 'x' saja, bukan 'x^4' atau 'x^8'. Ini menunjukkan bahwa mungkin ada kesalahan dalam soal atau ada cara lain untuk mendekatinya.

Mari kita periksa kembali komposisi fungsi dan ekspresi yang diberikan.
(h o g o f)(x) = h(g(f(x)))
Substitusi f(x) = -x^2 ke g(x):
g(f(x)) = g(-x^2) = (-x^2)^2 + 6 = x^4 + 6.

Sekarang kita punya h(x^4 + 6) = 5x^8 + 60x + 180.

Perhatikan bahwa 5x^8 dapat ditulis sebagai 5(x^4)^2. Jika kita misalkan y = x^4, maka 5x^8 = 5y^2.
Dengan demikian, h(y + 6) = 5(y^2) + 60x + 180.

Jika kita menganggap bahwa suku '60x' tidak seharusnya ada atau ada kesalahan dalam soal, dan bahwa ekspresi tersebut seharusnya hanya bergantung pada x^4, misalnya:
Jika (h o g o f)(x) = 5x^8 + 60x^4 + 180, maka:
h(x^4 + 6) = 5(x^4)^2 + 60(x^4) + 180
Misalkan u = x^4 + 6, maka x^4 = u - 6.
Substitusikan x^4:
h(u) = 5(u - 6)^2 + 60(u - 6) + 180
h(u) = 5(u^2 - 12u + 36) + 60u - 360 + 180
h(u) = 5u^2 - 60u + 180 + 60u - 180
h(u) = 5u^2
Jadi, h(x) = 5x^2.

Namun, dengan soal asli (h o g o f)(x) = 5x^8 + 60x + 180, ada inkonsistensi karena adanya suku '60x'. Jika kita harus menjawab berdasarkan soal yang diberikan, maka tidak ada fungsi h(x) polinomial sederhana yang dapat memenuhi persamaan tersebut karena suku '60x' tidak dapat dieliminasi atau diubah menjadi bentuk yang bergantung pada 'x^4 + 6' saja.

Asumsi lain: Mungkin ada kesalahan ketik dan seharusnya f(x) atau g(x) berbeda, atau (h o g o f)(x) memiliki bentuk yang berbeda.

Jika kita coba cara lain, misal kita substitusi x dengan suatu nilai, tetapi itu tidak akan memberikan bentuk h(x).

Jika kita perhatikan bentuk 5x^8 + 60x + 180, dan kita tahu g(f(x)) = x^4 + 6. Maka h(x^4 + 6) = 5x^8 + 60x + 180.
Jika kita misalkan x^4 = y, maka x = +/- y^(1/4). Ini akan membuat ekspresi menjadi rumit.

Kemungkinan besar soal ini memiliki kesalahan penulisan. Jika kita mengasumsikan bahwa suku 60x seharusnya adalah 60x^4, maka:
h(x^4 + 6) = 5x^8 + 60x^4 + 180
Misalkan u = x^4 + 6, maka x^4 = u - 6.
Substitusikan:
h(u) = 5(u - 6)^2 + 60(u - 6) + 180
h(u) = 5(u^2 - 12u + 36) + 60u - 360 + 180
h(u) = 5u^2 - 60u + 180 + 60u - 180
h(u) = 5u^2
Jadi, h(x) = 5x^2.

Jika kita harus menjawab berdasarkan soal yang ada persis, maka tidak ada solusi fungsi h(x) sederhana karena adanya suku 60x.

Jawaban akan diberikan berdasarkan asumsi bahwa ada kesalahan ketik dan seharusnya adalah 60x^4.