Diketahui fungsi f dinyatakan oleh f(x)=sin^4 x. Turunan

f"(x) = 12 sin²x cos²x - 4 sin⁴x, f"(π/3) = 0

Pembahasan

Untuk mencari turunan kedua f(x) = sin⁴x dan nilai f"(π/3), kita perlu melakukan diferensiasi dua kali.

Diketahui f(x) = sin⁴x = (sin x)⁴

Turunan pertama, f'(x):
Menggunakan aturan rantai, turunan dari uⁿ adalah n*uⁿ⁻¹*u'.
Misalkan u = sin x, maka u' = cos x.
f'(x) = 4 * (sin x)³ * cos x
f'(x) = 4 sin³x cos x

Turunan kedua, f''(x):
Kita perlu menurunkan f'(x) = 4 sin³x cos x menggunakan aturan perkalian (uv)' = u'v + uv'.
Misalkan u = 4 sin³x dan v = cos x.
Maka u' = d/dx (4 sin³x) = 4 * 3 sin²x * cos x = 12 sin²x cos x.
Dan v' = d/dx (cos x) = -sin x.

f''(x) = u'v + uv'
f''(x) = (12 sin²x cos x) * (cos x) + (4 sin³x) * (-sin x)
f''(x) = 12 sin²x cos²x - 4 sin⁴x

Sekarang, kita perlu mencari nilai f''(π/3).
Kita tahu bahwa:
sin(π/3) = √3 / 2
cos(π/3) = 1 / 2

Substitusikan nilai-nilai ini ke dalam f''(x):
f''(π/3) = 12 * (sin(π/3))² * (cos(π/3))² - 4 * (sin(π/3))⁴
f''(π/3) = 12 * (√3 / 2)² * (1 / 2)² - 4 * (√3 / 2)⁴
f''(π/3) = 12 * (3 / 4) * (1 / 4) - 4 * (9 / 16)
f''(π/3) = 12 * (3 / 16) - 4 * (9 / 16)
f''(π/3) = 36 / 16 - 36 / 16
f''(π/3) = 0

Jadi:
c. Bentuk f''(x) = 12 sin²x cos²x - 4 sin⁴x
d. Nilai f''(π/3) = 0