Diketahui fungsi f(x)=cos (x)-sin (x) . Tentukan: a. nilai

a. x = 7π/4 + 2kπ, b. x = 3π/4 + 2kπ, c. (3π/4 + 2kπ, 7π/4 + 2kπ)

Pembahasan

Untuk menentukan nilai x pada titik maksimum, minimum, dan interval monoton naik dari fungsi f(x) = cos(x) - sin(x), kita perlu menggunakan turunan pertama fungsi tersebut.

1. Mencari Titik Maksimum dan Minimum:
Langkah pertama adalah mencari turunan pertama dari f(x):
f'(x) = d/dx (cos(x) - sin(x))
f'(x) = -sin(x) - cos(x)

Untuk mencari titik kritis (potensi maksimum atau minimum), kita atur f'(x) = 0:
-sin(x) - cos(x) = 0
-sin(x) = cos(x)

Bagi kedua sisi dengan cos(x) (dengan asumsi cos(x) ≠ 0):
-tan(x) = 1
tan(x) = -1

Nilai x di mana tan(x) = -1 adalah pada kuadran II dan IV. Dalam interval [0, 2π), solusi umumnya adalah:
x = 3π/4 dan x = 7π/4.

Selanjutnya, kita perlu menggunakan turunan kedua untuk menentukan apakah titik-titik ini adalah maksimum atau minimum.
Turunan kedua dari f(x) adalah:
f''(x) = d/dx (-sin(x) - cos(x))
f''(x) = -cos(x) - (-sin(x))
f''(x) = sin(x) - cos(x)

Evaluasi f''(x) pada titik-titik kritis:
Untuk x = 3π/4:
f''(3π/4) = sin(3π/4) - cos(3π/4) = (√2/2) - (-√2/2) = √2.
Karena f''(3π/4) > 0, maka x = 3π/4 adalah titik minimum.

Untuk x = 7π/4:
f''(7π/4) = sin(7π/4) - cos(7π/4) = (-√2/2) - (√2/2) = -√2.
Karena f''(7π/4) < 0, maka x = 7π/4 adalah titik maksimum.

a. Nilai x pada titik maksimum adalah x = 7π/4 (dan nilai-nilai yang kongruen dengannya, yaitu 7π/4 + 2kπ).

b. Nilai x pada titik minimum adalah x = 3π/4 (dan nilai-nilai yang kongruen dengannya, yaitu 3π/4 + 2kπ).

2. Menentukan Interval Monoton Naik:
Sebuah fungsi monoton naik jika turunan pertamanya positif (f'(x) > 0).
Kita perlu menyelesaikan ketidaksamaan:
-sin(x) - cos(x) > 0
-sin(x) > cos(x)

Untuk menentukan interval ini, kita bisa melihat kembali di mana sin(x) = -cos(x), yaitu pada x = 3π/4 dan x = 7π/4.
Kita uji interval:
- Interval (3π/4, 7π/4):
Ambil x = π. Maka -sin(π) - cos(π) = -0 - (-1) = 1 > 0. Jadi, fungsi naik pada interval ini.

- Interval (7π/4, 3π/4 + 2π) atau (7π/4, 11π/4):
Ambil x = 2π. Maka -sin(2π) - cos(2π) = -0 - 1 = -1 < 0. Jadi, fungsi turun pada interval ini.

c. Interval di mana kurva monoton naik adalah (3π/4, 7π/4) (dan interval yang kongruen dengannya, yaitu (3π/4 + 2kπ, 7π/4 + 2kπ) untuk setiap bilangan bulat k).