Diketahui fungsi-fungsi: f(x)=(x-3)/(x^2-x-2), g(x)=x/(2

(g/u)(x) = x / [(2x+1)(x+1)^2 * sqrt(x-1)] untuk x >= 1.

Pembahasan

Untuk menentukan hasil dari (g/u)(x), kita perlu membagi fungsi g(x) dengan fungsi u(x).

Diketahui:
g(x) = x / (2x^2 + 3x + 1)
u(x) = sqrt((x^2 - 1)(x + 1))

Pertama, mari kita sederhanakan bentuk fungsi u(x):
u(x) = sqrt(((x-1)(x+1))(x+1))
u(x) = sqrt((x-1)(x+1)^2)
u(x) = |x+1| * sqrt(x-1)

Agar u(x) terdefinisi, kita perlu:
1. (x^2 - 1)(x + 1) >= 0
   (x-1)(x+1)(x+1) >= 0
   (x-1)(x+1)^2 >= 0
   Karena (x+1)^2 selalu non-negatif, kita hanya perlu memastikan (x-1) >= 0, yang berarti x >= 1.
2. Di samping itu, penyebut dari g(x) tidak boleh nol:
   2x^2 + 3x + 1 != 0
   (2x+1)(x+1) != 0
   Ini berarti x != -1/2 dan x != -1.

Sekarang, kita akan mencari (g/u)(x) = g(x) / u(x):
(g/u)(x) = [x / (2x^2 + 3x + 1)] / [|x+1| * sqrt(x-1)]

Kita bisa menyederhanakan penyebut g(x):
2x^2 + 3x + 1 = (2x+1)(x+1)

Jadi,
(g/u)(x) = [x / ((2x+1)(x+1))] / [|x+1| * sqrt(x-1)]

Untuk x >= 1, maka |x+1| = x+1.

(g/u)(x) = [x / ((2x+1)(x+1))] / [(x+1) * sqrt(x-1)]

Untuk membagi pecahan, kita kalikan dengan kebalikan dari penyebut:
(g/u)(x) = [x / ((2x+1)(x+1))] * [1 / ((x+1) * sqrt(x-1))]

(g/u)(x) = x / [(2x+1)(x+1)^2 * sqrt(x-1)]

Perlu diperhatikan bahwa domain dari (g/u)(x) adalah irisan dari domain g(x) dan domain u(x), dengan syarat u(x) tidak nol. Domain g(x) adalah x != -1/2 dan x != -1. Domain u(x) adalah x >= 1. Jadi, domain gabungan adalah x >= 1.

Oleh karena itu, bentuk sederhana dari (g/u)(x) adalah x / [(2x+1)(x+1)^2 * sqrt(x-1)] dengan domain x >= 1.