Tuliskan ekspresi limit di bawah ini dalam ekspresi f(a)

Ekspresi limit tersebut adalah -2af(a) - f(a).

Pembahasan

Untuk menuliskan ekspresi limit lim x->a (a^2f(x)-x^2f(x)-xf(a)+af(a))/(x-a) dalam bentuk f(a) dan f'(a), kita dapat menggunakan aturan L'Hôpital karena jika kita substitusikan x=a, hasilnya akan menjadi bentuk tak tentu 0/0.

Ekspresi limit:
L = lim x->a (a^2f(x)-x^2f(x)-xf(a)+af(a))/(x-a)

Kita turunkan pembilang dan penyebut terhadap x:

Turunan pembilang:
d/dx [a^2f(x)-x^2f(x)-xf(a)+af(a)]
= a^2f'(x) - [2xf(x) + x^2f'(x)] - f(a) + 0
= a^2f'(x) - 2xf(x) - x^2f'(x) - f(a)

Turunan penyebut:
d/dx [x-a]
= 1

Sekarang, substitusikan x = a ke dalam turunan pembilang:
= a^2f'(a) - 2af(a) - a^2f'(a) - f(a)
= -2af(a) - f(a)

Karena turunan penyebut adalah 1, maka nilai limitnya adalah hasil turunan pembilang saat x=a:
L = (-2af(a) - f(a)) / 1
L = -2af(a) - f(a)

Jadi, ekspresi limit tersebut dapat ditulis sebagai -2af(a) - f(a).