Diketahui fungsi komposisi (f o g)(x) = 1/(x-2)

1/(x-5)

Pembahasan

Diketahui:
Fungsi komposisi (f o g)(x) = 1/(x-2) * sqrt(x^2 - 4x + 5)
Fungsi f(x) = sqrt(x^2 + 1)
Daerah jelajah x >= 0.
Kita diminta mencari g(x-3).

Pertama, kita perlu mencari bentuk fungsi g(x). Kita tahu bahwa (f o g)(x) = f(g(x)).
Jadi, f(g(x)) = 1/(x-2) * sqrt(x^2 - 4x + 5).

Kita substitusikan g(x) ke dalam f(x):
f(g(x)) = sqrt((g(x))^2 + 1)

Sehingga, sqrt((g(x))^2 + 1) = 1/(x-2) * sqrt(x^2 - 4x + 5).

Untuk menghilangkan akar kuadrat di sisi kiri, kita kuadratkan kedua sisi:
(g(x))^2 + 1 = [1/(x-2) * sqrt(x^2 - 4x + 5)]^2
(g(x))^2 + 1 = 1/(x-2)^2 * (x^2 - 4x + 5)

Perhatikan bahwa x^2 - 4x + 5 dapat ditulis sebagai (x-2)^2 + 1.
Jadi,
(g(x))^2 + 1 = 1/(x-2)^2 * [(x-2)^2 + 1]
(g(x))^2 + 1 = [(x-2)^2 + 1] / (x-2)^2
(g(x))^2 + 1 = (x-2)^2 / (x-2)^2 + 1 / (x-2)^2
(g(x))^2 + 1 = 1 + 1 / (x-2)^2

Sekarang, kita kurangi kedua sisi dengan 1:
(g(x))^2 = 1 / (x-2)^2

Ambil akar kuadrat dari kedua sisi:
g(x) = ± sqrt(1 / (x-2)^2)
g(x) = ± 1 / |x-2|

Karena daerah jelajah x >= 0, dan fungsi komposisi terdefinisi, kita perlu mempertimbangkan domain dari setiap fungsi. Fungsi komposisi terdefinisi jika x-2 != 0, sehingga x != 2.

Sekarang kita perlu mencari g(x-3). Kita substitusikan (x-3) ke dalam g(x):
g(x-3) = ± 1 / |(x-3) - 2|
g(x-3) = ± 1 / |x-5|

Untuk menentukan tanda positif atau negatif, kita perlu informasi lebih lanjut atau asumsi mengenai domain g(x). Jika kita mengasumsikan bahwa g(x) menghasilkan nilai positif untuk domain yang relevan:
g(x) = 1 / |x-2|

Maka:
g(x-3) = 1 / |(x-3)-2|
g(x-3) = 1 / |x-5|

Namun, jika kita melihat kembali fungsi komposisi (f o g)(x) = 1/(x-2) * sqrt(x^2 - 4x + 5), bagian 1/(x-2) bisa bernilai negatif. Jika g(x) adalah fungsi yang menghasilkan nilai real, maka g(x)^2 harus non-negatif, yang selalu benar untuk g(x) = ± 1 / |x-2|.

Perhatikan bahwa (f o g)(x) = f(g(x)) = sqrt((g(x))^2 + 1).
Jika g(x) = 1/(x-2), maka (g(x))^2 = 1/(x-2)^2.
sqrt((g(x))^2 + 1) = sqrt(1/(x-2)^2 + 1) = sqrt((1 + (x-2)^2)/(x-2)^2) = sqrt(x^2 - 4x + 5)/|x-2|.
Ini cocok dengan bagian akar dari (f o g)(x), tetapi ada faktor 1/(x-2).

Ini menunjukkan bahwa g(x) harus memiliki tanda yang sama dengan 1/(x-2) agar perkaliannya menghasilkan nilai yang benar.
Jadi, kita bisa ambil g(x) = 1/(x-2).

Maka, g(x-3) = 1/((x-3)-2) = 1/(x-5).

Untuk daerah jelajah x >= 0, domain g(x-3) adalah x != 5.

Jadi, g(x-3) = 1/(x-5).