Kelas 12Kelas 11mathAljabar
Diketahui fungsi komposisi (f o g)(x) = 1/(x-2)
Pertanyaan
Diketahui fungsi komposisi (f o g)(x) = 1/(x-2) akar(x^2-4x+5) dan fungsi f(x) = akar(x^2+1). Untuk daerah jelajah x >= 0, tentukan g(x-3).
Solusi
Verified
1/(x-5)
Pembahasan
Diketahui: Fungsi komposisi (f o g)(x) = 1/(x-2) * sqrt(x^2 - 4x + 5) Fungsi f(x) = sqrt(x^2 + 1) Daerah jelajah x >= 0. Kita diminta mencari g(x-3). Pertama, kita perlu mencari bentuk fungsi g(x). Kita tahu bahwa (f o g)(x) = f(g(x)). Jadi, f(g(x)) = 1/(x-2) * sqrt(x^2 - 4x + 5). Kita substitusikan g(x) ke dalam f(x): f(g(x)) = sqrt((g(x))^2 + 1) Sehingga, sqrt((g(x))^2 + 1) = 1/(x-2) * sqrt(x^2 - 4x + 5). Untuk menghilangkan akar kuadrat di sisi kiri, kita kuadratkan kedua sisi: (g(x))^2 + 1 = [1/(x-2) * sqrt(x^2 - 4x + 5)]^2 (g(x))^2 + 1 = 1/(x-2)^2 * (x^2 - 4x + 5) Perhatikan bahwa x^2 - 4x + 5 dapat ditulis sebagai (x-2)^2 + 1. Jadi, (g(x))^2 + 1 = 1/(x-2)^2 * [(x-2)^2 + 1] (g(x))^2 + 1 = [(x-2)^2 + 1] / (x-2)^2 (g(x))^2 + 1 = (x-2)^2 / (x-2)^2 + 1 / (x-2)^2 (g(x))^2 + 1 = 1 + 1 / (x-2)^2 Sekarang, kita kurangi kedua sisi dengan 1: (g(x))^2 = 1 / (x-2)^2 Ambil akar kuadrat dari kedua sisi: g(x) = ± sqrt(1 / (x-2)^2) g(x) = ± 1 / |x-2| Karena daerah jelajah x >= 0, dan fungsi komposisi terdefinisi, kita perlu mempertimbangkan domain dari setiap fungsi. Fungsi komposisi terdefinisi jika x-2 != 0, sehingga x != 2. Sekarang kita perlu mencari g(x-3). Kita substitusikan (x-3) ke dalam g(x): g(x-3) = ± 1 / |(x-3) - 2| g(x-3) = ± 1 / |x-5| Untuk menentukan tanda positif atau negatif, kita perlu informasi lebih lanjut atau asumsi mengenai domain g(x). Jika kita mengasumsikan bahwa g(x) menghasilkan nilai positif untuk domain yang relevan: g(x) = 1 / |x-2| Maka: g(x-3) = 1 / |(x-3)-2| g(x-3) = 1 / |x-5| Namun, jika kita melihat kembali fungsi komposisi (f o g)(x) = 1/(x-2) * sqrt(x^2 - 4x + 5), bagian 1/(x-2) bisa bernilai negatif. Jika g(x) adalah fungsi yang menghasilkan nilai real, maka g(x)^2 harus non-negatif, yang selalu benar untuk g(x) = ± 1 / |x-2|. Perhatikan bahwa (f o g)(x) = f(g(x)) = sqrt((g(x))^2 + 1). Jika g(x) = 1/(x-2), maka (g(x))^2 = 1/(x-2)^2. sqrt((g(x))^2 + 1) = sqrt(1/(x-2)^2 + 1) = sqrt((1 + (x-2)^2)/(x-2)^2) = sqrt(x^2 - 4x + 5)/|x-2|. Ini cocok dengan bagian akar dari (f o g)(x), tetapi ada faktor 1/(x-2). Ini menunjukkan bahwa g(x) harus memiliki tanda yang sama dengan 1/(x-2) agar perkaliannya menghasilkan nilai yang benar. Jadi, kita bisa ambil g(x) = 1/(x-2). Maka, g(x-3) = 1/((x-3)-2) = 1/(x-5). Untuk daerah jelajah x >= 0, domain g(x-3) adalah x != 5. Jadi, g(x-3) = 1/(x-5).
Buka akses pembahasan jawaban
Topik: Fungsi Komposisi
Section: Sifat Fungsi Komposisi
Apakah jawaban ini membantu?