Diketahui fungsi kuadrat y = x^2 - 4x + 7. Nilai optimum

Nilai optimumnya adalah 3 dan jenisnya minimum.

Pembahasan

Fungsi kuadrat yang diberikan adalah y = x² - 4x + 7.
Untuk mencari nilai optimum dan jenisnya, kita dapat menggunakan beberapa metode, salah satunya adalah dengan melengkapkan kuadrat sempurna atau menggunakan turunan.

Metode 1: Melengkapkan Kuadrat Sempurna
Kita ubah bentuk fungsi menjadi y = a(x - h)² + k, di mana (h, k) adalah koordinat titik puncak (nilai optimum).

y = x² - 4x + 7
Ambil setengah dari koefisien x (-4), yaitu -2, lalu kuadratkan menjadi (-2)² = 4.
Tambahkan dan kurangkan 4 di dalam persamaan:
y = (x² - 4x + 4) - 4 + 7
y = (x - 2)² + 3

Dalam bentuk ini, h = 2 dan k = 3.
Karena koefisien x² (a) adalah positif (a = 1), maka parabola terbuka ke atas, dan titik puncak (2, 3) merupakan nilai minimum.
Jadi, nilai optimumnya adalah 3, dan jenisnya adalah minimum.

Metode 2: Menggunakan Turunan
Nilai optimum (minimum atau maksimum) terjadi ketika turunan pertama fungsi terhadap x adalah nol.

y = x² - 4x + 7
Turunan pertama: dy/dx = 2x - 4
Atur dy/dx = 0:
2x - 4 = 0
2x = 4
x = 2

Untuk mencari nilai y pada x = 2:
y = (2)² - 4(2) + 7
y = 4 - 8 + 7
y = 3

Untuk menentukan jenisnya (minimum atau maksimum), kita gunakan turunan kedua:
d²y/dx² = 2
Karena turunan kedua positif (2 > 0), maka pada x = 2 terdapat nilai minimum.

Jadi, nilai optimumnya adalah 3, dan jenisnya adalah minimum.