Diketahui fungsi trigonometri y=2 cos 3 x , pada interval 0

a. Maksimum: (0,2), (120,2); Minimum: (60,-2), (180,-2). b. Naik: (60,120); Turun: (0,60) U (120,180)

Pembahasan

Untuk fungsi y = 2 cos(3x) pada interval 0 <= x <= 180 derajat:

a. Titik balik maksimum dan minimum:
Titik balik terjadi ketika turunan kedua sama dengan nol.
Turunan pertama (y'): y' = -2 * sin(3x) * 3 = -6 sin(3x)
Turunan kedua (y''): y'' = -6 * cos(3x) * 3 = -18 cos(3x)

Untuk mencari titik balik, kita set y'' = 0:
-18 cos(3x) = 0
cos(3x) = 0

Dalam interval 0 <= x <= 180, maka 0 <= 3x <= 540.
Nilai 3x yang menyebabkan cos(3x) = 0 adalah 90, 270, 450 derajat.

Jika 3x = 90, maka x = 30 derajat.
y = 2 cos(3 * 30) = 2 cos(90) = 2 * 0 = 0.
Titik (30, 0).

Jika 3x = 270, maka x = 90 derajat.
y = 2 cos(3 * 90) = 2 cos(270) = 2 * 0 = 0.
Titik (90, 0).

Jika 3x = 450, maka x = 150 derajat.
y = 2 cos(3 * 150) = 2 cos(450) = 2 * 0 = 0.
Titik (150, 0).

Sekarang kita perlu menentukan apakah titik-titik ini adalah maksimum atau minimum. Kita bisa menggunakan uji turunan kedua atau melihat nilai fungsi di sekitar titik tersebut.

Untuk titik balik maksimum/minimum, kita perlu mencari nilai ekstrim fungsi.
Nilai maksimum cos(theta) adalah 1, terjadi saat theta = 0, 360, ...
Nilai minimum cos(theta) adalah -1, terjadi saat theta = 180, 540, ...

Maksimum y = 2 * 1 = 2.
Terjadi saat 3x = 0 atau 3x = 360.
x = 0 atau x = 120 derajat.
Titik maksimum: (0, 2) dan (120, 2).

Minimum y = 2 * (-1) = -2.
Terjadi saat 3x = 180 atau 3x = 540.
x = 60 atau x = 180 derajat.
Titik minimum: (60, -2) dan (180, -2).

Jadi, titik balik maksimum adalah (0, 2) dan (120, 2). Titik balik minimum adalah (60, -2) dan (180, -2).

b. Selang kemonotonan fungsi (fungsi naik dan fungsi turun):
Fungsi naik ketika y' > 0, dan fungsi turun ketika y' < 0.

y' = -6 sin(3x)

Fungsi naik (y' > 0):
-6 sin(3x) > 0
sin(3x) < 0

Dalam interval 0 <= 3x <= 540, sin(3x) < 0 terjadi pada:
180 < 3x < 360

Jika 180 < 3x < 360, maka 60 < x < 120.
Jadi, fungsi naik pada interval (60, 120).

Fungsi turun (y' < 0):
-6 sin(3x) < 0
sin(3x) > 0

Dalam interval 0 <= 3x <= 540, sin(3x) > 0 terjadi pada:
0 < 3x < 180
atau
360 < 3x < 540

Jika 0 < 3x < 180, maka 0 < x < 60.
Jika 360 < 3x < 540, maka 120 < x < 180.

Jadi, fungsi turun pada interval (0, 60) dan (120, 180).

Ringkasan:
a. Titik balik maksimum: (0, 2) dan (120, 2). Titik balik minimum: (60, -2) dan (180, -2).
b. Fungsi naik pada interval (60, 120). Fungsi turun pada interval (0, 60) dan (120, 180).

Jawaban ringkas: a. Maksimum: (0,2), (120,2); Minimum: (60,-2), (180,-2). b. Naik: (60,120); Turun: (0,60) U (120,180)