Diketahui invers fungsi g dan (fog) berturut-turut

f(x) = (2x-3)/(1-4x)

Pembahasan

Diketahui:
g^-1(x) = (-x+7)/3
(fog)^-1(x) = (27x+11)/(12x+6)

Kita perlu mencari rumus fungsi f(x).

Kita tahu bahwa (fog)^-1(x) = g^-1(f^-1(x)).

Pertama, cari f^-1(x) dari g^-1(x).
Misalkan y = g^-1(x) = (-x+7)/3
3y = -x+7
x = 7-3y
Jadi, f^-1(x) = 7-3x.

Sekarang, substitusikan f^-1(x) ke dalam g^-1(x) untuk mendapatkan (fog)^-1(x):
(fog)^-1(x) = g^-1(f^-1(x))
(fog)^-1(x) = g^-1(7-3x)
(fog)^-1(x) = -(7-3x)+7 / 3
(fog)^-1(x) = (-7+3x+7)/3
(fog)^-1(x) = 3x/3
(fog)^-1(x) = x

Ini tidak sesuai dengan (fog)^-1(x) yang diberikan.
Mari kita coba pendekatan lain. Kita tahu bahwa jika (fog)(x) = y, maka (fog)^-1(y) = x.

Kita punya g^-1(x) = (-x+7)/3. Maka g(x) adalah invers dari g^-1(x).
Misalkan y = (-x+7)/3
3y = -x+7
x = 7-3y
Jadi, g(x) = 7-3x.

Sekarang kita gunakan (fog)^-1(x) = g^-1(f^-1(x)).
Kita perlu mencari f(x), bukan f^-1(x).
Dari g(x) = 7-3x, kita dapat mencari g^-1(x) lagi untuk memastikan.
Misalkan y = 7-3x
3x = 7-y
x = (7-y)/3
Jadi, g^-1(x) = (7-x)/3. Ini sesuai dengan yang diberikan.

Sekarang kita gunakan (fog)(x) = y, maka x = (fog)^-1(y).
Kita juga tahu (fog)(x) = f(g(x)).

Mari kita cari f^-1(x) terlebih dahulu.
Kita tahu (fog)^-1(x) = g^-1(f^-1(x)).
Misalkan h(x) = (fog)^-1(x) = (27x+11)/(12x+6)
Kita punya g^-1(x) = (-x+7)/3

Kita ingin mencari f(x). Kita tahu f(x) = (fog)(g^-1(x)).
Kita perlu mencari invers dari (fog)^-1(x) terlebih dahulu untuk mendapatkan (fog)(x).
Misalkan y = (27x+11)/(12x+6)
y(12x+6) = 27x+11
12xy + 6y = 27x + 11
12xy - 27x = 11 - 6y
x(12y - 27) = 11 - 6y
x = (11 - 6y) / (12y - 27)
Jadi, (fog)(x) = (11 - 6x) / (12x - 27).

Sekarang kita punya (fog)(x) = f(g(x)).
(11 - 6x) / (12x - 27) = f(7-3x)

Misalkan u = 7-3x. Maka 3x = 7-u, atau x = (7-u)/3.
Substitusikan x ke dalam persamaan:
(11 - 6((7-u)/3)) / (12((7-u)/3) - 27) = f(u)
(11 - 2(7-u)) / (4(7-u) - 27) = f(u)
(11 - 14 + 2u) / (28 - 4u - 27) = f(u)
(-3 + 2u) / (1 - 4u) = f(u)

Jadi, rumus fungsi f adalah f(x) = (2x-3)/(1-4x).