Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan luas bidang alas 8 cm^2.

Jarak antara garis BF dan bidang ACGE adalah 2 cm.

Pembahasan

Diketahui sebuah kubus ABCD.EFGH dengan luas bidang alas 8 cm^2. Bidang alas kubus adalah persegi, sehingga luasnya adalah sisi * sisi (s^2). Maka, s^2 = 8 cm^2, yang berarti panjang sisi kubus adalah s = sqrt(8) = 2*sqrt(2) cm.

Kita perlu mencari jarak antara garis BF dan bidang ACGE. Garis BF adalah rusuk vertikal kubus, sedangkan bidang ACGE adalah diagonal bidang yang dibentuk oleh dua diagonal sisi berhadapan (AC dan GE) dan dua rusuk tegak (AE dan CG).

Dalam kubus, garis BF sejajar dengan rusuk CG. Bidang ACGE memuat rusuk CG dan AE. Karena BF sejajar dengan CG, maka BF juga sejajar dengan bidang ACGE.

Jarak antara sebuah garis dan sebuah bidang yang sejajar adalah jarak dari sembarang titik pada garis tersebut ke bidangnya. Kita bisa mengambil titik B atau F. Jarak dari titik B ke bidang ACGE adalah jarak dari B ke proyeksi B pada bidang ACGE. Namun, cara yang lebih mudah adalah dengan menyadari bahwa karena BF sejajar dengan bidang ACGE, jaraknya konstan. Kita bisa menghitung jarak dari titik B ke bidang ACGE.

Titik B memiliki koordinat (misalnya, jika A=(0,0,0), B=(s,0,0), C=(s,s,0), D=(0,s,0), E=(0,0,s), F=(s,0,s), G=(s,s,s), H=(0,s,s)). Dalam hal ini, B=(s,0,0). Bidang ACGE melewati titik A(0,0,0), C(s,s,0), G(s,s,s), E(0,0,s). Vektor normal bidang ACGE dapat dicari dari vektor AC = (s,s,0) dan AE = (0,0,s). Perkalian silang AC x AE = (s*s - 0*0, 0*0 - s*s, s*0 - s*0) = (s^2, -s^2, 0). Jadi, vektor normalnya adalah (1, -1, 0).

Persamaan bidang ACGE adalah 1*(x-0) - 1*(y-0) + 0*(z-0) = 0, atau x - y = 0.

Jarak dari titik B(s,0,0) ke bidang x - y = 0 adalah |1*s - 1*0 + 0*0| / sqrt(1^2 + (-1)^2 + 0^2) = |s| / sqrt(2).

Karena s = 2*sqrt(2) cm, maka jaraknya adalah |2*sqrt(2)| / sqrt(2) = 2 cm.

Alternatif lain: Perhatikan bahwa garis BF tegak lurus dengan diagonal alas AC. Jarak antara garis BF dan bidang ACGE adalah jarak dari titik B ke garis AC. Namun, ini juga tidak tepat karena BF tidak tegak lurus dengan AC. BF sejajar dengan CG.

Mari kita pertimbangkan proyeksi. Garis BF sejajar dengan bidang ACGE. Jaraknya sama dengan jarak rusuk AE atau CG ke bidang tersebut, tetapi ini tidak membantu. Kita perlu jarak dari garis BF ke bidang ACGE.

Perhatikan bahwa garis BF sejajar dengan rusuk CG. Bidang ACGE dibentuk oleh rusuk AE, CG, AC, dan GE. Karena BF sejajar dengan CG, maka BF sejajar dengan bidang ACGE. Jarak antara garis BF dan bidang ACGE adalah jarak dari setiap titik pada garis BF ke bidang ACGE. Kita bisa mengambil titik B. Jarak dari titik B ke bidang ACGE. Titik B berada pada bidang ABCD. Titik A, C, G, E membentuk bidang miring.

Perhatikan irisan kubus yang memotong BF dan sejajar dengan ACGE. Ini tidak mudah.

Mari kita gunakan sifat geometri kubus. Rusuk BF sejajar dengan rusuk CG. Bidang ACGE tegak lurus dengan diagonal BD (dan FH). Bidang ACGE memuat CG dan AE.

Karena BF sejajar dengan bidang ACGE, jaraknya sama dengan jarak dari titik B ke bidang ACGE. Proyeksi titik B pada bidang ACGE adalah titik O, perpotongan diagonal AC dan BD pada bidang alas. Namun, ACGE bukan bidang yang tegak lurus BD.

Perhatikan kembali. BF sejajar CG. CG terletak pada bidang ACGE. Oleh karena itu, BF sejajar dengan bidang ACGE. Jarak antara garis BF dan bidang ACGE adalah jarak dari titik B ke bidang ACGE. Jarak dari titik B ke bidang ACGE sama dengan jarak dari rusuk AB ke bidang ACGE, atau jarak dari rusuk BC ke bidang ACGE. Ini juga tidak membantu.

Cara paling mudah: Ambil titik F. Bidang ACGE. Jarak dari F ke bidang ACGE. F=(s,0,s). Bidang ACGE: x - y = 0. Jaraknya adalah |s - 0| / sqrt(1^2 + (-1)^2) = s / sqrt(2).

Karena s = 2*sqrt(2) cm, jaraknya adalah (2*sqrt(2)) / sqrt(2) = 2 cm.