Diketahui kubus ABCD.EFGH, dengan luas permukaannya 384

Jarak MP ke BDG = $\frac{8\sqrt{3}}{3}$ cm, Jarak MN ke sisi tegak = 4 cm, Jarak EG ke ABCD = 8 cm, Jarak BQ ke ADHE = 8 cm.

Pembahasan

Mari kita pecahkan soal kubus ABCD.EFGH ini langkah demi langkah:

**Informasi yang Diketahui:**
* Luas permukaan kubus = 384 cm$^2$
* Titik M: perpotongan diagonal bidang atas EFGH
* Titik N: perpotongan diagonal bidang alas ABCD
* Titik P: pertengahan rusuk AE
* Titik Q: pertengahan rusuk CG

**Langkah 1: Mencari Panjang Rusuk Kubus**
Luas permukaan kubus = 6 * (sisi)$^2$
384 cm$^2$ = 6 * (sisi)$^2$
(sisi)$^2$ = 384 / 6 = 64 cm$^2$
sisi = $\sqrt{64}$ = 8 cm
Jadi, panjang rusuk kubus adalah 8 cm.

**Langkah 2: Menentukan Posisi Titik-titik**
Kita bisa menggunakan sistem koordinat untuk mempermudah:
Misalkan A = (0, 0, 0)
B = (8, 0, 0)
C = (8, 8, 0)
D = (0, 8, 0)
E = (0, 0, 8)
F = (8, 0, 8)
G = (8, 8, 8)
H = (0, 8, 8)

* M (titik tengah EFGH): M = $(\frac{0+8}{2}, \frac{0+8}{2}, \frac{8+8}{2})$ = (4, 4, 8)
* N (titik tengah ABCD): N = $(\frac{0+8}{2}, \frac{0+8}{2}, \frac{0+0}{2})$ = (4, 4, 0)
* P (pertengahan AE): P = $(\frac{0+0}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{0+8}{2})$ = (0, 0, 4)
* Q (pertengahan CG): Q = $(\frac{8+8}{2}, \frac{8+8}{2}, \frac{0+8}{2})$ = (8, 8, 4)

**Menjawab Pertanyaan:**

a. **Jarak garis MP dan bidang BDG**
   - Vektor arah MP = P - M = (0-4, 0-4, 4-8) = (-4, -4, -4)
   - Persamaan bidang BDG:
     B = (8, 0, 0)
     D = (0, 8, 0)
     G = (8, 8, 8)
     Vektor BD = D - B = (-8, 8, 0)
     Vektor BG = G - B = (0, 8, 8)
     Normal bidang (N) = BD x BG = $(-8, 8, 0) \times (0, 8, 8) = (64, 64, -64)$. Kita bisa sederhanakan menjadi (1, 1, -1).
     Persamaan bidang: 1(x - 8) + 1(y - 0) + (-1)(z - 0) = 0 => x + y - z - 8 = 0
   - Jarak titik M(4, 4, 8) ke bidang x + y - z - 8 = 0:
     Jarak = $|(1*4) + (1*4) - (1*8) - 8| / \sqrt{1^2 + 1^2 + (-1)^2} = |4 + 4 - 8 - 8| / \sqrt{3} = |-8| / \sqrt{3} = 8 / \sqrt{3} = (8\sqrt{3})/3$ cm.
   - Karena MP sejajar dengan bidang BDG (dapat dicek dengan dot product vektor MP dan normal bidang BDG adalah 0), maka jarak garis MP ke bidang BDG sama dengan jarak salah satu titik pada garis (misal M) ke bidang BDG.

b. **Jarak garis MN dan sisi tegak kubus**
   - Garis MN adalah garis vertikal yang menghubungkan pusat alas dan pusat atas. MN sejajar dengan rusuk AE, CG, BF, DH.
   - Sisi tegak kubus adalah bidang ABFE, BCGF, CDHG, DAEH.
   - Jarak garis MN ke sisi tegak ABFE (bidang y=0) adalah 4 cm (jarak M ke y=0 atau N ke y=0).
   - Jarak garis MN ke sisi tegak BCGF (bidang x=8) adalah 4 cm.
   - Jarak garis MN ke sisi tegak CDHG (bidang y=8) adalah 4 cm.
   - Jarak garis MN ke sisi tegak DAEH (bidang x=0) adalah 4 cm.
   - Jadi, jarak garis MN ke setiap sisi tegak adalah sama, yaitu 4 cm.

c. **Jarak garis EG dan bidang ABCD**
   - EG adalah diagonal bidang atas EFGH.
   - ABCD adalah bidang alas.
   - Karena bidang EFGH sejajar dengan bidang ABCD, maka jarak antara garis EG dan bidang ABCD sama dengan jarak antara kedua bidang tersebut, yaitu panjang rusuk vertikal kubus.
   - Jarak = 8 cm.

d. **Jarak garis BQ dan bidang ADHE**
   - B = (8, 0, 0)
   - Q = (8, 8, 4)
   - Vektor arah BQ = Q - B = (8-8, 8-0, 4-0) = (0, 8, 4)
   - Bidang ADHE adalah bidang yz pada x=0. Persamaan bidangnya adalah x = 0.
   - Jarak titik B(8, 0, 0) ke bidang x = 0:
     Jarak = $|8| / \sqrt{1^2}$ = 8 cm.
   - Karena garis BQ terletak pada bidang BCGF (x=8) yang sejajar dengan bidang ADHE (x=0), maka jarak garis BQ ke bidang ADHE sama dengan jarak bidang BCGF ke bidang ADHE, yaitu 8 cm.

**Jawaban Rinci:**
a. Jarak garis MP dan bidang BDG adalah $\frac{8\sqrt{3}}{3}$ cm.
b. Jarak garis MN dan sisi tegak kubus adalah 4 cm.
c. Jarak garis EG dan bidang ABCD adalah 8 cm.
d. Jarak garis BQ dan bidang ADHE adalah 8 cm.