Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 10 cm , titik P

Jarak titik P ke garis CE adalah 5√2 cm.

Pembahasan

Untuk menentukan jarak titik P ke garis CE pada kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 10 cm dan P sebagai titik tengah GH, kita dapat menggunakan teorema Pythagoras atau vektor. Pertama, tentukan koordinat titik-titik yang relevan. Misalkan A=(0,0,0), B=(10,0,0), C=(10,10,0), D=(0,10,0), E=(0,0,10), F=(10,0,10), G=(10,10,10), H=(0,10,10). Titik P adalah tengah GH, sehingga P = ((10+0)/2, (10+10)/2, (10+10)/2) = (5, 10, 10).

Garis CE dapat direpresentasikan oleh vektor CE = E - C = (0-10, 0-10, 10-0) = (-10, -10, 10).

Jarak titik P ke garis CE adalah panjang proyeksi vektor CP ke vektor arah garis CE, dikurangi panjang vektor CP itu sendiri, atau menggunakan rumus jarak titik ke garis dalam ruang.

Alternatif lain, cari titik Q pada garis CE sedemikian rupa sehingga PQ tegak lurus CE. PQ adalah jarak yang dicari.

Panjang rusuk kubus = 10 cm. Titik P adalah tengah GH, maka GP = PH = 5 cm.
Perhatikan segitiga siku-siku CGE. CG = 10 cm, GE = 10√2 cm (diagonal sisi). CE = 10√3 cm (diagonal ruang).

Proyeksikan P ke bidang alas ABCD, kita dapatkan titik tengah rusuk DH, sebut saja M. Jarak PM = 10 cm. Proyeksikan P ke bidang BCGF, kita dapatkan titik tengah rusuk CG, sebut saja N. CN = 5 cm, NG = 5 cm.

Perhatikan segitiga siku-siku CQP. CP = √(CG^2 + GP^2) = √(10^2 + 5^2) = √(100 + 25) = √125 = 5√5 cm.

Kita perlu mencari jarak dari P ke garis CE. Dalam kubus, CE adalah diagonal ruang. Misalkan kita gunakan pendekatan geometri analitik. Koordinat C=(10,10,0), E=(0,0,10). P=(5,10,10).

Jarak titik P ke garis CE dirumuskan:
Jarak = ||(P-C) x (E-C)|| / ||E-C||

P-C = (5-10, 10-10, 10-0) = (-5, 0, 10)
E-C = (0-10, 0-10, 10-0) = (-10, -10, 10)

(P-C) x (E-C) = 
| i   j   k  |
|-5  0  10 |
|-10 -10 10 |
= i(0*10 - 10*(-10)) - j((-5)*10 - 10*(-10)) + k((-5)*(-10) - 0*(-10))
= i(100) - j(-50 + 100) + k(50)
= 100i - 50j + 50k = (100, -50, 50)

||(P-C) x (E-C)|| = √(100^2 + (-50)^2 + 50^2) = √(10000 + 2500 + 2500) = √15000 = 100√1.5 = 100√(3/2) = 50√6

||E-C|| = √((-10)^2 + (-10)^2 + 10^2) = √(100 + 100 + 100) = √300 = 10√3

Jarak = (50√6) / (10√3) = 5√2 cm.