Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 4 cm. Jika sudut

sin( = sqrt(2)/2

Pembahasan

Kubus ABCD.EFGH memiliki rusuk 4 cm.
Sudut antara BF dan bidang BEG adalah .
Bidang BEG dibentuk oleh diagonal alas EG dan rusuk AE.
Proyeksi BF pada bidang BEG adalah BG.
Jadi, kita perlu mencari sudut antara BF dan BG.
Perhatikan segitiga siku-siku ABF (siku-siku di B).
Panjang AB = 4 cm, BF = 4 cm.
Panjang AF = sqrt(AB^2 + BF^2) = sqrt(4^2 + 4^2) = sqrt(16 + 16) = sqrt(32) = 4*sqrt(2) cm.

Perhatikan segitiga siku-siku BCG (siku-siku di C).
Panjang BC = 4 cm, CG = 4 cm.
Panjang BG = sqrt(BC^2 + CG^2) = sqrt(4^2 + 4^2) = sqrt(16 + 16) = sqrt(32) = 4*sqrt(2) cm.

Perhatikan segitiga siku-siku FBG (siku-siku di B).
Panjang BF = 4 cm, BG = 4*sqrt(2) cm.

Kita mencari sudut antara BF dan BG, yaitu sudut FBG.
Dalam segitiga siku-siku FBG:
sin( = Sisi depan / Sisi miring = FG / BG
FG adalah diagonal sisi, FG = 4*sqrt(2) cm.
BG adalah diagonal sisi, BG = 4*sqrt(2) cm.
Ini bukan cara yang tepat untuk mencari proyeksi BF pada bidang BEG.

Mari kita tinjau ulang proyeksi BF pada bidang BEG.
Bidang BEG memuat titik B, E, G.
BF tegak lurus dengan bidang ABCD, sehingga BF juga tegak lurus dengan EG.
Proyeksi BF pada bidang BEG adalah garis dari F yang tegak lurus dengan bidang BEG.

Alternatif: Cari sudut antara BF dan BG. Ini adalah sudut yang dibentuk oleh rusuk BF dan diagonal ruang BG.
Ini juga bukan sudut yang ditanyakan.

Mari kita cari sudut antara BF dan proyeksinya pada bidang BEG.
Proyeksi titik F pada bidang BEG adalah titik itu sendiri karena F berada pada bidang yang sejajar dengan BEG (bidang BCGF) dan garis proyeksinya harus melalui F dan tegak lurus bidang BEG.

Cara lain: Proyeksi BF pada bidang BEG.
Kita tahu BF tegak lurus bidang ABCD. Kita perlu mencari bidang yang melalui BF dan tegak lurus BEG.

Mari kita gunakan vektor.
Misal B=(0,0,0), F=(0,4,0), E=(0,4,4), G=(4,4,4).

VEKTOR BF = F - B = (0,4,0)
VEKTOR BE = E - B = (0,4,4)
VEKTOR BG = G - B = (4,4,4)

Untuk mencari sudut antara vektor BF dan bidang BEG, kita perlu mencari sudut antara BF dan normal bidang BEG.
Normal bidang BEG dapat dicari dengan cross product BE x BG.
BE x BG = | i j k |
             | 0 4 4 |
             | 4 4 4 |
          = i(16-16) - j(0-16) + k(0-16)
          = 0i + 16j - 16k
Normal n = (0, 16, -16) atau (0, 1, -1).

Sudut antara vektor BF dan normal n:
cos(theta) = (BF . n) / (|BF| * |n|)
BF . n = (0)(0) + (4)(1) + (0)(-1) = 4
|BF| = sqrt(0^2 + 4^2 + 0^2) = 4
|n| = sqrt(0^2 + 1^2 + (-1)^2) = sqrt(2)
cos(theta) = 4 / (4 * sqrt(2)) = 1 / sqrt(2) = sqrt(2) / 2

Sudut antara vektor dan bidang adalah 90 - theta.
Kita mencari sin().
sin() = sin(90 - theta) = cos(theta)
Jadi, sin( = sqrt(2) / 2.