Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 4 cm. Titik P pada

2√14 cm

Pembahasan

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk = 4 cm.
Titik P pada perpanjangan DC sehingga CP = 1/2 DC.
Titik Q pada pertengahan EH.

Kita akan menggunakan sistem koordinat untuk memudahkan perhitungan jarak.
Misalkan titik D berada di titik asal (0, 0, 0).
Karena ini adalah kubus dengan rusuk 4 cm:

D = (0, 0, 0)
A = (4, 0, 0)
C = (0, 4, 0)
E = (0, 0, 4)

Titik P terletak pada perpanjangan DC. Koordinat C adalah (0, 4, 0) dan D adalah (0, 0, 0). Vektor DC = C - D = (0, 4, 0).
Karena P pada perpanjangan DC, vektor DP searah dengan vektor DC.
CP = 1/2 DC.
Panjang DC = 4 cm.
Jadi, CP = 1/2 * 4 = 2 cm.
Karena P pada perpanjangan DC, P berada di luar segmen DC pada sisi C.
Koordinat P dapat ditemukan dengan menambahkan vektor CP ke koordinat C.
Karena P pada perpanjangan DC, arahnya sama dengan arah C ke D. Vektor CD = D - C = (0, -4, 0).
Namun, soal menyatakan perpanjangan DC, artinya kita bergerak dari D ke C, lalu melanjutkan.
Jika D=(0,0,0), C=(0,4,0), maka arah DC adalah ke sumbu y positif.
Sehingga P = C + (1/2) * vektor CD. Tapi ini salah karena P pada perpanjangan DC. 

Mari kita asumsikan D=(0,0,0), C=(0,4,0). Maka DC adalah vektor (0,4,0). Perpanjangan DC berarti kita melanjutkan dari C.
P = C + (1/2) * (C-D) = (0,4,0) + (1/2)*(0,4,0) = (0,4,0) + (0,2,0) = (0,6,0).
Namun, lebih umum jika kita mengambil arah DC dari D ke C.

Mari kita ulangi dengan penempatan yang lebih standar:
D = (0,0,0)
C = (4,0,0) 
B = (4,4,0)
A = (0,4,0)

H = (0,4,4)
G = (4,4,4)
F = (4,0,4)
E = (0,0,4)

Titik P pada perpanjangan DC. Vektor DC = C - D = (4,0,0). 
CP = 1/2 DC. Panjang DC = 4.
CP = 1/2 * 4 = 2.
Karena P pada perpanjangan DC, maka P berada pada garis yang sama dengan D dan C, setelah C.
P = C + (1/2) * (C-D) = (4,0,0) + (1/2) * (4,0,0) = (4,0,0) + (2,0,0) = (6,0,0).

Titik Q pada pertengahan EH.
E = (0,0,4)
H = (0,4,4)
Q = ( (0+0)/2, (0+4)/2, (4+4)/2 ) = (0, 2, 4).

Sekarang kita hitung jarak antara P(6,0,0) dan Q(0,2,4).
Jarak PQ = sqrt( (x2-x1)^2 + (y2-y1)^2 + (z2-z1)^2 )
Jarak PQ = sqrt( (0-6)^2 + (2-0)^2 + (4-0)^2 )
Jarak PQ = sqrt( (-6)^2 + 2^2 + 4^2 )
Jarak PQ = sqrt( 36 + 4 + 16 )
Jarak PQ = sqrt( 56 )
Jarak PQ = sqrt( 4 * 14 )
Jarak PQ = 2 * sqrt(14) cm.

Jadi, jarak dari P ke Q adalah 2 * sqrt(14) cm.