Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 6 cm, titik pusat P

Jarak P ke CE adalah sqrt(6) cm.

Pembahasan

Untuk melukis jarak P ke garis CE pada kubus ABCD.EFGH dengan titik pusat P pada bidang ABCD:
1. Tentukan proyeksi P pada bidang EFGH. Karena P adalah titik pusat bidang ABCD, proyeksinya pada bidang EFGH adalah titik pusat bidang EFGH, sebut saja P'.
2. Perpanjang garis CE hingga memotong bidang EFGH di titik C'.
3. Jarak P ke garis CE sama dengan jarak P ke garis C'E.
4. Dalam kubus, garis CE adalah diagonal ruang. Proyeksi titik P pada bidang alas ABCD adalah titik pusat bidang ABCD itu sendiri. Jarak P ke garis CE adalah jarak dari titik pusat bidang alas ke diagonal ruang.

Untuk menghitung jarak P ke CE:
Misalkan rusuk kubus adalah s (dalam soal ini s = 6 cm).
Koordinat titik sudut kubus dapat diasumsikan:
A=(0,0,0), B=(s,0,0), C=(s,s,0), D=(0,s,0), E=(0,0,s), F=(s,0,s), G=(s,s,s), H=(0,s,s).
Titik pusat P pada bidang ABCD adalah P = (s/2, s/2, 0).

Persamaan garis CE dapat dinyatakan dalam bentuk vektor:
CE = C + t(E - C)
CE = (s,s,0) + t((0,0,s) - (s,s,0))
CE = (s,s,0) + t(-s,-s,s)
CE = (s - st, s - st, st)

Misalkan Q adalah titik pada garis CE sedemikian sehingga PQ tegak lurus CE. Vektor PQ = Q - P.
Q = (s - st, s - st, st)
P = (s/2, s/2, 0)
PQ = (s - st - s/2, s - st - s/2, st - 0)
PQ = (s/2 - st, s/2 - st, st)

Syarat tegak lurus PQ . CE = 0:
(s/2 - st, s/2 - st, st) . (-s, -s, s) = 0
(s/2 - st)(-s) + (s/2 - st)(-s) + (st)(s) = 0
-s^2/2 + s^2t - s^2/2 + s^2t + s^2t = 0
-s^2 + 3s^2t = 0
3s^2t = s^2
t = 1/3

Substitusikan nilai t kembali ke vektor PQ:
PQ = (s/2 - s(1/3), s/2 - s(1/3), s(1/3))
PQ = (s/2 - s/3, s/2 - s/3, s/3)
PQ = (3s/6 - 2s/6, 3s/6 - 2s/6, s/3)
PQ = (s/6, s/6, s/3)

Jarak P ke CE adalah panjang vektor PQ:
Jarak = ||PQ|| = sqrt((s/6)^2 + (s/6)^2 + (s/3)^2)
Jarak = sqrt(s^2/36 + s^2/36 + s^2/9)
Jarak = sqrt(2s^2/36 + 4s^2/36)
Jarak = sqrt(6s^2/36)
Jarak = sqrt(s^2/6)
Jarak = s / sqrt(6)
Jarak = s * sqrt(6) / 6

Dengan s = 6 cm:
Jarak = 6 * sqrt(6) / 6 = sqrt(6) cm.