Diketahui kubus ABCD EFGH. Garis AG terpotong menjadi tiga

GC tegak lurus BD, BD tegak lurus AG, diagonal sisi yang tidak berpotongan saling tegak lurus (misal AC tegak lurus FH). AG tegak lurus bidang BDE dan CHF. Potongan AG adalah s√3/2.

Pembahasan

Soal ini berkaitan dengan geometri ruang, khususnya pada kubus dan pembagian diagonal oleh bidang.

Bagian a: Membuktikan GC tegak lurus terhadap BD.
Dalam kubus ABCD.EFGH, kita dapat menggunakan sistem koordinat. Misalkan titik A=(0,0,0), B=(s,0,0), D=(0,s,0), C=(s,s,0), G=(s,s,s).

Untuk membuktikan GC tegak lurus BD, kita dapat menggunakan vektor:

$\\vec{GC} = C - G = (s,s,0) - (s,s,s) = (0,0,-s)$
$\\vec{BD} = D - B = (0,s,0) - (s,0,0) = (-s,s,0)$

Perkalian titik $\\vec{GC} . \\vec{BD} = (0)(-s) + (0)(s) + (-s)(0) = 0$. Karena hasil perkalian titiknya adalah 0, maka GC tegak lurus BD.

Bagian b: Membuktikan BD tegak lurus terhadap AG.

$\\vec{BD} = (-s,s,0)$
$\\vec{AG} = G - A = (s,s,s) - (0,0,0) = (s,s,s)$

Perkalian titik $\\vec{BD} . \\vec{AG} = (-s)(s) + (s)(s) + (0)(s) = -s^2 + s^2 + 0 = 0$. Karena hasil perkalian titiknya adalah 0, maka BD tegak lurus AG.

Bagian c: Bukti untuk diagonal sisi yang tidak berpotongan.
Perhatikan diagonal sisi AC dan BG. Keduanya tidak berpotongan dan keduanya tidak sejajar dengan BD atau AG. Dalam kubus, semua diagonal sisi yang tidak berpotongan dan tidak sejajar akan saling tegak lurus jika mereka berada pada bidang yang berbeda dan memiliki orientasi tertentu. Namun, perlu pembuktian vektor yang lebih rinci untuk setiap pasangan. Sebagai contoh, kita bisa membuktikan AC tegak lurus FH.

$\\vec{AC} = C - A = (s,s,0)$
$\\vec{FH} = H - F = (0,s,s) - (s,0,s) = (-s,s,0)$

Perkalian titik $\\vec{AC} . \\vec{FH} = (s)(-s) + (s)(s) + (0)(0) = -s^2 + s^2 = 0$. Maka AC tegak lurus FH.

Bukti A: Garis AG tegak lurus terhadap bidang BDE.
Untuk membuktikan AG tegak lurus bidang BDE, kita perlu menunjukkan bahwa AG tegak lurus terhadap dua vektor yang berada di bidang BDE, misalnya BD dan BE.

Kita sudah membuktikan AG tegak lurus BD. Sekarang kita perlu membuktikan AG tegak lurus BE.

$\\vec{BE} = E - B = (0,0,s) - (s,0,0) = (-s,0,s)$
$\\vec{AG} = (s,s,s)$

Perkalian titik $\\vec{AG} . \\vec{BE} = (s)(-s) + (s)(0) + (s)(s) = -s^2 + 0 + s^2 = 0$.
Karena AG tegak lurus terhadap BD dan BE (dua vektor yang tidak sejajar di bidang BDE), maka AG tegak lurus terhadap bidang BDE.

Bukti B: Garis AG tegak lurus terhadap bidang CHF.
Sama seperti sebelumnya, kita perlu menunjukkan bahwa AG tegak lurus terhadap dua vektor di bidang CHF, misalnya CH dan CF.

$\\vec{CH} = H - C = (0,s,s) - (s,s,0) = (-s,0,s)$
$\\vec{AG} = (s,s,s)$

Perkalian titik $\\vec{AG} . \\vec{CH} = (s)(-s) + (s)(0) + (s)(s) = -s^2 + 0 + s^2 = 0$.

$\\vec{CF} = F - C = (s,0,s) - (s,s,0) = (0,-s,s)$
$\\vec{AG} = (s,s,s)$

Perkalian titik $\\vec{AG} . \\vec{CF} = (s)(0) + (s)(-s) + (s)(s) = 0 - s^2 + s^2 = 0$.
Karena AG tegak lurus terhadap CH dan CF (dua vektor yang tidak sejajar di bidang CHF), maka AG tegak lurus terhadap bidang CHF.

Menentukan panjang potongan AG:
Bidang BDE dan CHF memotong diagonal ruang AG. Karena AG tegak lurus terhadap bidang BDE dan CHF, perpotongan ini terjadi pada titik-titik yang membuat AG membagi bidang-bidang tersebut menjadi bagian-bagian yang sama.
Dalam kubus, diagonal ruang AG melewati pusat kubus. Bidang BDE dan CHF keduanya melewati pusat kubus. Oleh karena itu, titik potong kedua bidang tersebut pada diagonal AG adalah pusat kubus. Pusat kubus membagi diagonal ruang menjadi dua bagian yang sama panjang.

Panjang diagonal ruang AG adalah $s\sqrt{3}$.
Karena pusat kubus membagi AG menjadi dua bagian yang sama, maka panjang setiap potongan adalah $(s\sqrt{3})/2$.

Petunjuk: Menggunakan soal di atas dan menentukan panjang potongan pada bidang ACGE.
Bidang ACGE adalah bidang diagonal yang memuat diagonal ruang AG. Bidang BDE dan CHF tidak tegak lurus terhadap bidang ACGE secara umum. Namun, jika kita mempertimbangkan proyeksi perpotongan pada bidang ACGE, ini akan lebih kompleks.

Fokus pada fakta bahwa AG tegak lurus dengan kedua bidang tersebut. Ini menyiratkan simetri tertentu. Titik potong bidang BDE dan CHF pada AG akan berada di tengah AG karena sifat simetri kubus dan bidang-bidang tersebut melewati pusat kubus.