Diketahui kubus ABCD.EFGH mempunyai rusuk 6 cm. Jarak titik

Jarak titik C ke bidang BDG adalah 2√3 cm.

Pembahasan

Kubus ABCD.EFGH memiliki rusuk dengan panjang 6 cm.
Bidang BDG membentuk segitiga sama sisi.

Untuk mencari jarak titik C ke bidang BDG, kita perlu mencari jarak tegak lurus dari C ke bidang BDG.

Misalkan O adalah pusat bidang BDG (perpotongan diagonal BG dan DF). Jarak C ke bidang BDG adalah jarak dari C ke proyeksi C pada bidang BDG. Proyeksi C pada bidang BDG adalah titik P sedemikian sehingga CP tegak lurus bidang BDG.

Perhatikan segitiga siku-siku BCD. Sisi BC tegak lurus bidang ABCD, sehingga BC tegak lurus BD. Segitiga BCD adalah segitiga siku-siku sama kaki.

Perhatikan segitiga BCD. BC = 6, CD = 6. BD = sqrt(BC^2 + CD^2) = sqrt(6^2 + 6^2) = sqrt(72) = 6*sqrt(2).

Perhatikan segitiga BDG. Ini adalah segitiga sama sisi karena BD = DG = BG = 6*sqrt(2).

Untuk menghitung jarak titik C ke bidang BDG, kita dapat menggunakan rumus volume tetrahedral.
Volume tetrahedral CB DG = (1/3) * Luas alas * tinggi.
Kita bisa gunakan segitiga BCD sebagai alas, namun tingginya bukan tegak lurus bidang BDG.

Cara lain adalah dengan meninjau proyeksi titik C ke bidang BDG. Misalkan P adalah proyeksi C pada bidang BDG. Maka CP adalah jarak yang dicari.

Karena ABCD.EFGH adalah kubus, maka titik C memiliki koordinat, misalnya C=(6,0,0) jika B=(0,0,0).
A=(0,6,0), D=(6,6,0), E=(0,0,6), F=(6,0,6), G=(6,6,6), H=(0,6,6).

Koordinat B=(0,0,0), D=(6,6,0), G=(6,6,6).
Bidang BDG melalui titik B=(0,0,0) dan memiliki vektor normal.
Vektor BD = (6,6,0)
Vektor BG = (6,6,6)
Vektor normal bidang BDG = BD x BG = (6,6,0) x (6,6,6)
= (6*6 - 0*6, 0*6 - 6*6, 6*6 - 6*6)
= (36, -36, 0)
Kita bisa sederhanakan vektor normal menjadi (1, -1, 0).

Persamaan bidang BDG adalah 1*x - 1*y + 0*z = 0, yaitu x - y = 0.

Titik C memiliki koordinat (6,0,0).
Jarak titik C(x0, y0, z0) ke bidang Ax + By + Cz + D = 0 adalah
|Ax0 + By0 + Cz0 + D| / sqrt(A^2 + B^2 + C^2)

Dalam kasus ini, A=1, B=-1, C=0, D=0. Titik C=(6,0,0).
Jarak = |1*6 + (-1)*0 + 0*0 + 0| / sqrt(1^2 + (-1)^2 + 0^2)
Jarak = |6| / sqrt(1 + 1)
Jarak = 6 / sqrt(2)
Jarak = 6*sqrt(2) / 2
Jarak = 3*sqrt(2).

Namun, di soal tertulis jawabannya 6 cm. Mari kita cek kembali.

Jika jarak titik C ke bidang BDG adalah 6 cm, berarti proyeksi C pada bidang BDG adalah titik G, atau D, atau B. Ini tidak mungkin.

Mari kita analisis ulang soal ini, mungkin ada interpretasi lain atau kesalahan pada informasi yang diberikan.

Asumsikan kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk s.
Titik C.
Bidang BDG.

Perhatikan proyeksi C pada bidang BDG. Misalkan O adalah pusat kubus.
Jarak titik C ke bidang BDG adalah tinggi dari tetrahedral yang dibentuk oleh C, B, D, G.

Volume tetrahedral CB DG = (1/3) * Luas alas * tinggi.
Jika kita gunakan segitiga BCD sebagai alas, Luas = 1/2 * BC * CD = 1/2 * s * s = s^2/2.
Tinggi dari C ke bidang BDG adalah yang kita cari.

Volume CB DG bisa juga dihitung dengan 
1/6 * | (CB x CD) . CG |
CB = (0,0,0) - C = (-s, 0, 0)
CD = (0,s,0) - C = (0,s,0)
CG = (s,s,0) - C = (s,s,0)
Ini salah karena C bukan titik asal.

Mari gunakan koordinat.
Misal B = (0,0,0)
C = (s,0,0)
D = (s,s,0)
G = (s,s,s)

Vektor BC = (s,0,0)
Vektor BD = (s,s,0)
Vektor BG = (s,s,s)

Volume tetrahedral = 1/6 * | det(BC, BD, BG) |
| s 0 0 |
| s s 0 |
| s s s |
= 1/6 * | s * (s*s - 0*s) - 0 + 0 |
= 1/6 * | s * s^2 |
= s^3 / 6.

Sekarang kita cari luas bidang BDG. BDG adalah segitiga sama sisi.
Panjang sisi BD = sqrt(s^2 + s^2) = s*sqrt(2).
Luas segitiga sama sisi dengan sisi a adalah (sqrt(3)/4) * a^2.
Luas BDG = (sqrt(3)/4) * (s*sqrt(2))^2 = (sqrt(3)/4) * (s^2 * 2) = (sqrt(3)/2) * s^2.

Volume = (1/3) * Luas alas * tinggi
s^3 / 6 = (1/3) * (sqrt(3)/2 * s^2) * tinggi
s^3 / 6 = (sqrt(3)/6) * s^2 * tinggi
tinggi = s^3 / (sqrt(3) * s^2)
tinggi = s / sqrt(3)
tinggi = s*sqrt(3) / 3.

Dengan s = 6 cm, tinggi = 6*sqrt(3) / 3 = 2*sqrt(3) cm.

Kesimpulan: Jawaban yang diberikan (6 cm) kemungkinan besar salah berdasarkan perhitungan matematis standar untuk jarak titik ke bidang pada kubus.

Jika kita menganggap soal menanyakan jarak titik C ke garis BD, maka:
Misal B=(0,0), C=(6,0), D=(6,6).
Garis BD melalui (0,0) dan (6,6), persamaannya y=x atau x-y=0.
Jarak C(6,0) ke garis x-y=0 adalah |1*6 - 1*0| / sqrt(1^2 + (-1)^2) = |6| / sqrt(2) = 3*sqrt(2).

Jika soal menanyakan jarak titik C ke titik pusat bidang BDG (O), maka:
O adalah titik tengah diagonal BG. B=(0,0,0), G=(6,6,6), maka O=(3,3,3).
Jarak CO = sqrt((6-3)^2 + (0-3)^2 + (0-3)^2) = sqrt(3^2 + (-3)^2 + (-3)^2) = sqrt(9+9+9) = sqrt(27) = 3*sqrt(3).

Mungkin ada pemahaman yang keliru tentang