Diketahui kubus ABCD.EFGH. Titik P pada AE, Q pada CG, dan

a. Perpanjang PQ hingga memotong perpanjangan AD atau BC (tergantung posisi P dan Q) pada bidang alas di titik X. b. Buat bidang potong melalui R yang sejajar BCGF, lalu perpanjang PR hingga memotong bidang potong tersebut.

Pembahasan

Untuk melukis titik tembus garis pada bidang, kita perlu memproyeksikan garis tersebut ke bidang yang dimaksud atau mencari perpotongan antara garis dengan bidang.

Diketahui kubus ABCD.EFGH. Titik P pada AE, Q pada CG, dan R pada perluasan bidang alas (ABCD).

a. Titik tembus garis PQ pada bidang ABCD.

Langkah-langkah:
1.  Buat garis bantu dari titik P sejajar dengan AB (atau CD) hingga memotong perpanjangan BC di satu titik, sebut saja S. (Ini jika P berada di luar AE, namun karena P pada AE, maka kita bisa langsung memproyeksikan P ke bidang alas).
2.  Karena P berada pada rusuk AE, dan AE tegak lurus bidang ABCD, maka proyeksi P pada bidang ABCD adalah titik P itu sendiri jika P berada di bidang ABCD. Namun, jika kita membicarakan garis PQ, kita perlu melihat bagaimana garis ini memotong bidang alas.
3.  Cara yang lebih umum adalah dengan mencari bidang lain yang memotong bidang ABCD dan juga memuat garis PQ atau bagian darinya.
4.  Alternatif lain: Perpanjang garis PQ hingga memotong bidang ABCD. 
    Misalkan kita membuat bidang yang melalui PQ dan sejajar dengan rusuk AB dan CD. Proyeksikan P dan Q ke bidang alas ABCD. Proyeksi P adalah titik P' (jika P pada AE, maka P' adalah titik pada bidang ABCD yang segaris dengan P dan tegak lurus bidang alas. Karena AE tegak lurus ABCD, maka P' adalah titik di alas yang segaris vertikal dengan P. Misalkan P berada di antara A dan E, maka P' adalah titik pada alas yang segaris vertikal P. Karena kita membicarakan perpotongan garis PQ, maka kita perlu membuat bidang potong.
5.  Buat bidang potong yang melalui titik P dan memotong bidang ABCD. Bidang ini juga harus memuat garis PQ. 
    Salah satu cara adalah dengan membuat bidang yang melalui P, sejajar dengan AB dan CD, dan memotong garis AD di satu titik (jika P di tengah AE) atau membuat bidang lain.

Metode yang lebih visual dan sering digunakan dalam geometri ruang:
*   Kita perlu bidang potong yang memuat garis PQ dan memotong bidang ABCD.
*   Bidang yang memuat PQ dan sejajar AD serta BC adalah bidang ADCB (bidang alas itu sendiri) atau bidang EFGH (bidang atas).
*   Jika kita perpanjang garis PQ, kita perlu melihat perpotongannya dengan bidang ABCD.
*   Karena P ada di AE dan Q ada di CG, dan AE serta CG sejajar serta tegak lurus bidang ABCD, maka PQ tidak akan sejajar dengan bidang ABCD kecuali P=Q=titik tengah AE=CG, yang tidak mungkin.
*   Anggaplah P berada di AE dan Q berada di CG. Buat bidang melalui P yang sejajar dengan bidang alas ABCD. Proyeksikan Q ke bidang ini, sebut Q'. Maka PQ' sejajar PQ. Proyeksikan Q' ke bidang alas ABCD, sebut Q''. Garis P Q'' adalah garis di bidang alas. Titik tembusnya adalah perpotongan PQ dengan PQ''.
*   Cara yang lebih sederhana: Buat bidang potong yang melalui PQ dan sejajar dengan rusuk AD dan BC. Bidang ini memotong AE di P dan CG di Q. Bidang ini juga memotong rusuk AD dan BC di suatu titik. Namun, ini bukan bidang potong yang tepat.

Mari kita gunakan bidang potong yang paling mudah.
Buat bidang yang melalui P dan sejajar dengan bidang BCGF (bidang samping kanan). Bidang ini akan memotong AB di sebuah titik (misal S) dan bidang alas ABCD di garis SR, di mana S ada di AB dan R ada di perluasan bidang alas.

Untuk titik tembus PQ pada bidang ABCD:
1. Perpanjang garis CG ke bawah memotong perpanjangan bidang alas di C. Perpanjang garis AE ke bawah memotong bidang alas di A.
2. Buat bidang potong yang melalui garis PQ. Salah satu bidang potong yang bisa digunakan adalah bidang yang memuat PQ dan sejajar dengan rusuk AD (dan BC).
3. Bidang ini akan memotong rusuk AD di satu titik (misal T) dan rusuk BC di satu titik (misal U). Jadi, bidang potongnya adalah TUPQ.
4. Perpotongan bidang TUPQ dengan bidang alas ABCD adalah garis TU.
5. Garis PQ sendiri tidak berada pada bidang TUPQ ini secara langsung jika P dan Q tidak segaris dengan T dan U.

Cara yang benar secara visual:
*   Proyeksikan titik P pada bidang ABCD. Sebut P'. Karena P ada di AE dan AE tegak lurus bidang ABCD, maka P' adalah titik pada bidang alas yang segaris vertikal dengan P. Misalkan koordinat A=(0,0,0), B=(s,0,0), D=(0,s,0), E=(0,0,s). Jika P pada AE, maka P=(0,0,z) untuk 0<=z<=s. P'=(0,0,0)=A.
*   Proyeksikan titik Q pada bidang ABCD. Sebut Q'. Karena Q ada di CG, dan CG sejajar AE, maka Q juga tegak lurus bidang ABCD. Proyeksi Q pada bidang alas adalah titik di alas yang segaris vertikal dengan Q. Misalkan C=(s,0,0), G=(s,s,0), Q pada CG. Koordinat Q = (s, y, z') untuk suatu y dan z'. Ini salah.

Mari kita gunakan perbandingan sisi.
Misalkan rusuk kubus adalah 'a'.
P ada di AE, Q ada di CG. Misalkan AP = p dan CQ = q.
Proyeksikan P ke bidang ABCD, dapat P' di AD.
Proyeksikan Q ke bidang ABCD, dapat Q' di BC.

Cara lain:
Buat bidang potong yang melalui P dan sejajar dengan bidang BCGF. Bidang ini memotong AB di S dan bidang alas di garis SR, di mana S adalah titik pada AB sedemikian sehingga AS = AP (jika P di AE) dan R adalah titik pada perluasan bidang alas.

Ini adalah soal melukis, jadi kita perlu deskripsi langkah melukisnya:
Untuk titik tembus garis PQ pada bidang ABCD:
1.  Buat garis dari P sejajar AD dan BC, memotong bidang ABCD di titik P' (yang sebenarnya adalah titik pada alas yang segaris vertikal dengan P).
2.  Buat garis dari Q sejajar AD dan BC, memotong bidang ABCD di titik Q' (titik pada alas yang segaris vertikal dengan Q).
3.  Karena P terletak pada AE dan Q pada CG, dan AE serta CG tegak lurus bidang ABCD, maka P' dan Q' akan berada pada garis AD dan BC jika kita memproyeksikan P dan Q ke bidang alas.
4.  Misalkan P' adalah proyeksi P pada bidang ABCD dan Q' adalah proyeksi Q pada bidang ABCD. Maka P' akan berada pada AD dan Q' akan berada pada BC.
5.  Garis P'Q' adalah proyeksi garis PQ pada bidang ABCD.
6.  Titik tembus garis PQ pada bidang ABCD adalah perpotongan antara garis PQ dengan bidang ABCD. Jika P dan Q berada di atas bidang ABCD, maka kita perlu perpanjangan garis PQ.

Metode yang paling umum:
Untuk mencari titik tembus garis PQ pada bidang ABCD:
1.  Tentukan bidang potong yang melalui garis PQ dan memotong bidang ABCD.
2.  Salah satu bidang potong yang dapat digunakan adalah bidang yang melalui P dan Q, dan sejajar dengan rusuk AB dan CD. Bidang ini akan memotong AD di titik P' dan BC di titik Q'.
3.  Perpotongan bidang potong ini dengan bidang alas ABCD adalah garis P'Q'.
4.  Titik tembus garis PQ pada bidang ABCD adalah perpotongan antara garis PQ dengan garis P'Q'.

Lukisan:
*   Bayangkan kubus ABCD.EFGH.
*   Titik P pada AE, titik Q pada CG.
*   Untuk mencari tembus PQ pada ABCD:
    *   Buat bidang potong yang melalui P dan Q. Bidang ini sejajar dengan AD dan BC.
    *   Bidang ini memotong AB di sebuah titik S (sedemikian sehingga AS = AP jika P adalah jarak dari A ke P pada AE) dan memotong CD di titik T (sedemikian sehingga DT = CQ jika Q adalah jarak dari C ke Q pada CG).
    *   Perpotongan bidang ini dengan bidang alas ABCD adalah garis ST.
    *   Perpanjang garis PQ hingga memotong garis ST di titik X. Maka X adalah titik tembus PQ pada bidang ABCD.

b. Titik tembus garis PR pada bidang BCGF.

Titik R terletak pada perluasan bidang alas. Ini berarti R bisa berada di mana saja pada bidang yang sama dengan ABCD, tetapi bisa di luar batas persegi ABCD.

Untuk mencari titik tembus PR pada bidang BCGF:
1.  Kita perlu bidang potong yang memuat garis PR dan memotong bidang BCGF.
2.  Bidang yang paling mudah adalah bidang yang memuat R dan sejajar dengan bidang BCGF, atau bidang yang memuat R dan sejajar dengan bidang ABFE.
3.  Karena R ada pada perluasan bidang alas, kita perlu memproyeksikan R ke bidang BCGF atau mencari bidang potong.
4.  Cara paling sederhana adalah membuat bidang potong yang memuat R dan sejajar dengan rusuk BF dan CG (yaitu sejajar dengan bidang BCGF). Namun, ini hanya berfungsi jika R berada pada posisi yang tepat.
5.  Alternatif: Buat bidang potong yang melalui R dan tegak lurus bidang BCGF. Ini tidak membantu.

Mari kita asumsikan R berada pada perpanjangan garis AB.
1.  Bidang potong yang memuat R dan sejajar dengan bidang BCGF adalah bidang yang melalui R dan tegak lurus rusuk AB dan CD. Bidang ini sejajar dengan BCGF.
2.  Jika R pada perpanjangan AB, sebut saja R.
3.  Buat garis dari R sejajar BC (dan FG), memotong bidang BCGF di titik R' (yang sebenarnya adalah R itu sendiri jika R terletak pada perluasan garis BC).
4.  Ini tidak tepat. Kita perlu mencari perpotongan.

Cara melukis titik tembus PR pada bidang BCGF:
1.  Tentukan bidang potong yang memuat R dan memotong bidang BCGF.
2.  Karena R pada perluasan bidang alas ABCD, kita bisa membuat bidang potong yang melalui R dan sejajar dengan bidang BCGF.
3.  Misalkan R terletak pada perpanjangan garis AB. Buat bidang potong melalui R yang sejajar dengan bidang BCGF. Bidang ini akan memotong rusuk BF di titik S dan rusuk CG di titik T.
4.  Perpotongan bidang potong ini dengan bidang BCGF adalah garis ST.
5.  Perpanjang garis PR hingga memotong garis ST di titik Y. Maka Y adalah titik tembus PR pada bidang BCGF.

Penjelasan detail untuk lukisan:
a. Titik tembus PQ pada bidang ABCD:
   - Perpanjang AE ke bawah hingga memotong bidang alas di A. Perpanjang CG ke bawah hingga memotong bidang alas di C.
   - Buat bidang potong yang melalui P dan Q. Bidang ini sejajar dengan AD dan BC. Bidang ini akan memotong garis AB di S (sedemikian sehingga AS = AP) dan memotong garis CD di T (sedemikian sehingga CT = DQ).
   - Perpotongan bidang potong ini dengan bidang ABCD adalah garis ST.
   - Perpanjang garis PQ hingga memotong garis ST di titik X. Titik X adalah titik tembus PQ pada bidang ABCD.
b. Titik tembus PR pada bidang BCGF:
   - Perpanjang bidang alas ABCD ke arah R.
   - Buat bidang potong yang melalui R dan sejajar dengan bidang BCGF. Misalkan R terletak pada perpanjangan garis AB. Bidang ini akan memotong rusuk BF di S dan rusuk CG di T.
   - Perpotongan bidang potong ini dengan bidang BCGF adalah garis ST.
   - Perpanjang garis PR hingga memotong garis ST di titik Y. Titik Y adalah titik tembus PR pada bidang BCGF.