Diketahui kubus ABCDEFGH. M tengah-tengah EH. theta adalah

1/akar(2)

Pembahasan

Soal ini berkaitan dengan geometri ruang, khususnya mencari sudut antara garis dan bidang.

Diketahui kubus ABCDEFGH. M adalah titik tengah EH.
Kita perlu mencari sudut theta antara garis BM dan bidang AFH.

Untuk mempermudah visualisasi, kita bisa menempatkan kubus dalam sistem koordinat Kartesius.
Misalkan panjang rusuk kubus adalah 'a'.
A = (0, 0, 0)
B = (a, 0, 0)
C = (a, a, 0)
D = (0, a, 0)
E = (0, 0, a)
F = (a, 0, a)
G = (a, a, a)
H = (0, a, a)

M adalah titik tengah EH.
Koordinat E = (0, 0, a), H = (0, a, a)
M = ((0+0)/2, (0+a)/2, (a+a)/2) = (0, a/2, a)

Kita perlu vektor BM dan vektor normal bidang AFH.
Vektor BM = M - B = (0 - a, a/2 - 0, a - 0) = (-a, a/2, a)

Sekarang kita tentukan vektor-vektor yang terletak pada bidang AFH.
Vektor AF = F - A = (a, 0, a) - (0, 0, 0) = (a, 0, a)
Vektor AH = H - A = (0, a, a) - (0, 0, 0) = (0, a, a)

Untuk mencari vektor normal bidang AFH, kita lakukan perkalian silang antara AF dan AH:
vektor_normal = AF x AH
vektor_normal = [[i, j, k], [a, 0, a], [0, a, a]]
vektor_normal = i(0*a - a*a) - j(a*a - a*0) + k(a*a - 0*0)
vektor_normal = i(-a^2) - j(a^2) + k(a^2)
vektor_normal = (-a^2, -a^2, a^2)
Kita bisa sederhanakan vektor normal menjadi (-1, -1, 1) dengan membagi dengan a^2.

Sudut theta antara garis BM dan bidang AFH adalah sudut antara vektor BM dan proyeksinya pada bidang AFH. Atau, kita bisa gunakan hubungan antara sudut antara vektor BM dan vektor normal bidang.

Misalkan phi adalah sudut antara vektor BM dan vektor_normal.
cos(phi) = (BM . vektor_normal) / (|BM| * |vektor_normal|)

BM . vektor_normal = (-a)(-a^2) + (a/2)(-a^2) + (a)(a^2)
= a^3 - a^3/2 + a^3
= 3a^3/2

|BM| = sqrt((-a)^2 + (a/2)^2 + a^2)
= sqrt(a^2 + a^2/4 + a^2)
= sqrt(2a^2 + a^2/4)
= sqrt(9a^2/4)
= 3a/2

|vektor_normal| = sqrt((-a^2)^2 + (-a^2)^2 + (a^2)^2)
= sqrt(a^4 + a^4 + a^4)
= sqrt(3a^4)
= a^2 * sqrt(3)

cos(phi) = (3a^3/2) / ((3a/2) * (a^2 * sqrt(3)))
cos(phi) = (3a^3/2) / (3a^3 * sqrt(3) / 2)
cos(phi) = 1 / sqrt(3)

Sudut theta antara garis BM dan bidang AFH adalah 90 derajat dikurangi sudut phi (jika phi adalah sudut antara garis dan normal).
Jadi, sin(theta) = cos(phi) = 1 / sqrt(3).

Kita perlu mencari Tan theta.
Jika sin(theta) = 1 / sqrt(3), maka kita bisa membentuk segitiga siku-siku.
Sisi depan = 1, sisi miring = sqrt(3).
Sisi samping = sqrt( (sqrt(3))^2 - 1^2 ) = sqrt(3 - 1) = sqrt(2).

Tan(theta) = sisi depan / sisi samping = 1 / sqrt(2).

Jadi, Tan theta = 1/akar(2).