Diketahui kubus PQRS.TUVW dengan panjang rusuk 8 cm dan

Jarak titik X ke garis RT adalah 4√2 cm.

Pembahasan

Soal ini meminta kita untuk menghitung jarak titik X ke garis RT pada kubus PQRS.TUVW dengan panjang rusuk 8 cm, di mana X adalah titik tengah rusuk PQ.

1.  **Tentukan panjang RT:**
    RT adalah diagonal bidang dari persegi PQRS. Menggunakan teorema Pythagoras pada segitiga siku-siku PQR:
    RT² = PQ² + QR²
    RT² = 8² + 8²
    RT² = 64 + 64
    RT² = 128
    RT = √128 = √(64 × 2) = 8√2 cm.

2.  **Tentukan panjang TO:**
    O adalah titik tengah dari diagonal bidang PR. Titik T berada di atas titik P. Segitiga TOP adalah segitiga siku-siku di P. PR = RT = 8√2 cm (diagonal bidang). TO adalah garis dari titik T ke titik tengah diagonal bidang alas.
    Namun, cara yang lebih mudah adalah melihat segitiga TQR. TO adalah garis berat dari T ke sisi QR (jika O adalah titik tengah QR, yang tidak disebutkan). Mari kita asumsikan O adalah titik di mana kita akan mengukur jarak. Jika O adalah proyeksi titik X pada bidang alas, maka O adalah titik tengah PQ. Kita perlu mengukur jarak dari X ke garis RT.
    Mari kita gunakan koordinat.
P=(0,0,0), Q=(8,0,0), R=(8,8,0), S=(0,8,0), T=(0,0,8), U=(8,0,8), V=(8,8,8), W=(0,8,8).
X adalah titik tengah PQ, jadi X = (4,0,0).
Garis RT dimulai dari R=(8,8,0) ke T=(0,0,8).

Untuk mencari jarak titik ke garis, kita bisa menggunakan rumus:
d = ||(P - A) x v|| / ||v||
Di mana P adalah titik (X), A adalah titik pada garis (R), v adalah vektor arah garis (RT).

Vektor RT = T - R = (0-8, 0-8, 8-0) = (-8, -8, 8).
Panjang vektor RT, ||v|| = √((-8)² + (-8)² + 8²) = √(64 + 64 + 64) = √192 = √(64 × 3) = 8√3.

Titik A = R = (8,8,0).
Titik P = X = (4,0,0).
P - A = X - R = (4-8, 0-8, 0-0) = (-4, -8, 0).

Sekarang kita hitung cross product (P - A) x v:
(-4, -8, 0) x (-8, -8, 8)
= | i   j   k  |
  |-4 -8   0  |
  |-8 -8   8  |

= i((-8*8) - (0*-8)) - j((-4*8) - (0*-8)) + k((-4*-8) - (-8*-8))
= i(-64 - 0) - j(-32 - 0) + k(32 - 64)
= -64i + 32j - 32k
= (-64, 32, -32)

Panjang dari hasil cross product, ||(P - A) x v|| = √((-64)² + 32² + (-32)²)
= √(4096 + 1024 + 1024)
= √6144
= √(1024 × 6)
= 32√6

Jarak OX = ||(P - A) x v|| / ||v||
= (32√6) / (8√3)
= (32/8) * (√6 / √3)
= 4 * √2
= 4√2 cm.

Mari kita cek langkah-langkah yang diminta soal:
1.  **Panjang RT:** 8√2 cm (sudah dihitung).
2.  **Panjang TO:** Ini tergantung pada definisi O. Jika O adalah titik di garis RT yang terdekat dengan X, maka kita perlu mencari proyeksi X pada garis RT. Misalkan proyeksi X pada garis RT adalah O. Vektor RT = (-8, -8, 8). Vektor RX = X - R = (4-8, 0-8, 0-0) = (-4, -8, 0). Proyeksi vektor RX pada vektor RT adalah:
    proj_RT (RX) = (RX · RT / ||RT||²) * RT
    RX · RT = (-4)(-8) + (-8)(-8) + (0)(8) = 32 + 64 + 0 = 96
    ||RT||² = 192
    proj_RT (RX) = (96 / 192) * (-8, -8, 8) = (1/2) * (-8, -8, 8) = (-4, -4, 4)
    Vektor RO = proj_RT (RX) = (-4, -4, 4)
    O = R + RO = (8,8,0) + (-4,-4,4) = (4,4,4).
    Panjang TO = ||TO|| = ||O - T|| = ||(4,4,4) - (0,0,8)|| = ||(4,4,-4)||
    TO = √(4² + 4² + (-4)²) = √(16 + 16 + 16) = √48 = √(16 × 3) = 4√3 cm.

3.  **Panjang TX:**
    TX = ||X - T|| = ||(4,0,0) - (0,0,8)|| = ||(4,0,-8)||
    TX = √(4² + 0² + (-8)²) = √(16 + 0 + 64) = √80 = √(16 × 5) = 4√5 cm.

4.  **Panjang OX:**
    Kita sudah menghitung jarak OX = 4√2 cm. 
    Cara lain menggunakan segitiga TXO. TX² = TO² + OX² (karena TO tegak lurus OX).
    (4√5)² = (4√3)² + OX²
    80 = 48 + OX²
    OX² = 80 - 48
    OX² = 32
    OX = √32 = √(16 × 2) = 4√2 cm.

Jadi, jarak titik X ke garis RT adalah 4√2 cm.