Diketahui layang-layang PQRS dengan diagonal PR dan QS. PR

a. P(2,0), R(2,-4); b. Luas 12; c. Keliling 4√5 + 4√2.

Pembahasan

Diketahui layang-layang PQRS dengan diagonal PR dan QS berpotongan di O(2, -2).
Diketahui Q(-2, -2) dan S(4, -2).
Panjang QS = jarak antara Q dan S.
QS = \sqrt{((4 - (-2))^2 + (-2 - (-2))^2)} = \sqrt{(6^2 + 0^2)} = \sqrt{36} = 6 satuan.
Karena O adalah titik tengah diagonal, maka QO = OS = QS/2 = 6/2 = 3 satuan.
Koordinat O(2, -2) dan Q(-2, -2), jarak QO = \sqrt{((2 - (-2))^2 + (-2 - (-2))^2)} = \sqrt{(4^2 + 0^2)} = \sqrt{16} = 4 satuan. Ini bertentangan dengan perhitungan sebelumnya.
Mari kita gunakan informasi bahwa O adalah titik potong diagonal dan QO = OS. Jika Q(-2, -2) dan S(4, -2), serta O(2, -2), maka O tidak berada di tengah QS karena jarak QO = 4 dan OS = 2. Diasumsikan ada kesalahan dalam soal atau penempatan titik O.

Kita asumsikan O(2, -2) adalah titik potong diagonal, dan QS adalah garis horizontal dengan y = -2. Titik O terletak pada garis y = -2, yang konsisten.

Karena O adalah titik potong diagonal, dan diagonal layang-layang tegak lurus, maka PR tegak lurus QS.
Karena QS adalah garis horizontal (y = -2), maka PR adalah garis vertikal (x = 2).

a. Koordinat titik P dan R:
Diagonal PR memiliki panjang 4 satuan dan berpusat di O(2, -2) pada garis vertikal x=2.
Maka, P dan R memiliki koordinat x=2.
Jarak PO = OR = PR/2 = 4/2 = 2 satuan.
Koordinat P: (2, -2 + 2) = (2, 0)
Koordinat R: (2, -2 - 2) = (2, -4)

b. Luas PQRS:
Luas layang-layang = (1/2) \times diagonal 1 \times diagonal 2
Luas PQRS = (1/2) \times PR \times QS
Luas PQRS = (1/2) \times 4 \times 6 = 12 satuan luas.

c. Keliling PQRS:
Keliling PQRS = PQ + QR + RS + SP
Kita perlu menghitung panjang sisi-sisinya menggunakan jarak antara titik-titik.

Panjang PQ = \sqrt{((2 - (-2))^2 + (0 - (-2))^2)} = \sqrt{(4^2 + 2^2)} = \sqrt{(16 + 4)} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}
Panjang PS = \sqrt{((2 - (-2))^2 + (0 - (-2))^2)} = \sqrt{(4^2 + 2^2)} = \sqrt{(16 + 4)} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}
Panjang QR = \sqrt{((2 - (-2))^2 + (-4 - (-2))^2)} = \sqrt{(4^2 + (-2)^2)} = \sqrt{(16 + 4)} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}
Panjang SR = \sqrt{((2 - 4)^2 + (-4 - (-2))^2)} = \sqrt{((-2)^2 + (-2)^2)} = \sqrt{(4 + 4)} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}

Perhitungan sisi-sisi menunjukkan bahwa layang-layang ini tidak standar karena tidak memiliki dua pasang sisi yang sama panjang dari sudut yang berlawanan (misalnya PQ=PS dan QR=SR).

Mari kita asumsikan kembali definisi layang-layang: memiliki dua pasang sisi yang sama panjang dan berdekatan.
PQ = PS dan QR = RS.

Dari perhitungan di atas:
PQ = \sqrt{((2 - (-2))^2 + (0 - (-2))^2)} = \sqrt{4^2 + 2^2} = \sqrt{16+4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}
PS = \sqrt{((2 - (-2))^2 + (0 - (-2))^2)} = \sqrt{4^2 + 2^2} = \sqrt{16+4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}
Ini konsisten PQ=PS.

QR = \sqrt{((2 - (-2))^2 + (-4 - (-2))^2)} = \sqrt{4^2 + (-2)^2} = \sqrt{16+4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}
RS = \sqrt{((2 - 4)^2 + (-4 - (-2))^2)} = \sqrt{(-2)^2 + (-2)^2} = \sqrt{4+4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}

Terjadi ketidaksesuaian pada sisi QR dan RS. Ada kemungkinan koordinat yang diberikan tidak membentuk layang-layang yang valid dengan titik O sebagai perpotongan diagonal dan O berada di tengah QS.

Namun, jika kita berpegang pada properti layang-layang (diagonal tegak lurus dan satu diagonal membagi dua sama panjang diagonal lainnya), dan menggunakan informasi yang diberikan:

a. Koordinat P dan R: P(2, 0), R(2, -4)
b. Luas PQRS: 12 satuan luas.

Untuk keliling, kita perlu menghitung ulang sisi-sisinya dengan asumsi P dan R sudah benar.

Panjang PQ = \sqrt{(2 - (-2))^2 + (0 - (-2))^2} = \sqrt{4^2 + 2^2} = \sqrt{16+4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}
Panjang PS = \sqrt{(2 - (-2))^2 + (0 - (-2))^2} = \sqrt{4^2 + 2^2} = \sqrt{16+4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}
Panjang QR = \sqrt{(2 - (-2))^2 + (-4 - (-2))^2} = \sqrt{4^2 + (-2)^2} = \sqrt{16+4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}
Panjang RS = \sqrt{(2 - 4)^2 + (-4 - (-2))^2} = \sqrt{(-2)^2 + (-2)^2} = \sqrt{4+4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}

Jika PQRS adalah layang-layang, maka PQ = PS dan QR = RS.
Dalam kasus ini, PQ = PS = 2\sqrt{5}.
Namun, QR = 2\sqrt{5} dan RS = 2\sqrt{2}. Ini tidak membentuk layang-layang standar.

Asumsi alternatif: Titik O(2,-2) adalah titik potong diagonal, Q(-2,-2) dan S(4,-2). PR=4. PR tegak lurus QS.
Karena QS horizontal, PR vertikal pada x=2.
O(2,-2). Q(-2,-2) -> QO=4. S(4,-2) -> SO=2. QS = QO+SO = 4+2=6. Ini konsisten.
Karena O membagi PR sama panjang, PO=OR=2.
Karena PR vertikal, P=(2, -2+2)=(2,0) dan R=(2, -2-2)=(2,-4).

Sekarang kita hitung sisi-sisinya:
PQ = sqrt((2-(-2))^2 + (0-(-2))^2) = sqrt(4^2+2^2) = sqrt(16+4) = sqrt(20) = 2*sqrt(5)
PS = sqrt((2-(-2))^2 + (0-(-2))^2) = sqrt(4^2+2^2) = sqrt(16+4) = sqrt(20) = 2*sqrt(5)
RQ = sqrt((2-(-2))^2 + (-4-(-2))^2) = sqrt(4^2+(-2)^2) = sqrt(16+4) = sqrt(20) = 2*sqrt(5)
RS = sqrt((2-4)^2 + (-4-(-2))^2) = sqrt((-2)^2+(-2)^2) = sqrt(4+4) = sqrt(8) = 2*sqrt(2)

Ini masih menghasilkan PQ=PS=RQ=2*sqrt(5) dan RS=2*sqrt(2). Ini bukan layang-layang.

Jika kita mengasumsikan layang-layang PQRS memiliki Q dan S pada satu diagonal, dan P dan R pada diagonal lainnya, serta O adalah titik potongnya, maka QO=OS jika O di tengah QS, atau PO=OR jika O di tengah PR.

Dalam soal ini, O(2,-2), Q(-2,-2), S(4,-2). O tidak di tengah QS karena QO=4 dan OS=2. QS=6.
PR dan QS berpotongan di O. PR tegak lurus QS. PR=4.

Karena QS horizontal (y=-2), PR vertikal (x=2).
O(2,-2) adalah titik potong.
PR=4, maka PO=OR=2.
P = (2, -2+2) = (2,0)
R = (2, -2-2) = (2,-4)

Luas = 1/2 * PR * QS = 1/2 * 4 * 6 = 12.

Untuk sisi-sisi:
PQ = sqrt((2-(-2))^2 + (0-(-2))^2) = sqrt(4^2+2^2) = sqrt(16+4) = sqrt(20) = 2*sqrt(5)
QR = sqrt((2-(-2))^2 + (-4-(-2))^2) = sqrt(4^2+(-2)^2) = sqrt(16+4) = sqrt(20) = 2*sqrt(5)
RS = sqrt((2-4)^2 + (-4-(-2))^2) = sqrt((-2)^2+(-2)^2) = sqrt(4+4) = sqrt(8) = 2*sqrt(2)
SP = sqrt((2-4)^2 + (0-(-2))^2) = sqrt((-2)^2+2^2) = sqrt(4+4) = sqrt(8) = 2*sqrt(2)

Jadi, PQ=QR=2*sqrt(5) dan RS=SP=2*sqrt(2).
Ini adalah layang-layang, dengan PQ=QR dan RS=SP.

Keliling PQRS = PQ + QR + RS + SP
Keliling PQRS = 2*sqrt(5) + 2*sqrt(5) + 2*sqrt(2) + 2*sqrt(2)
Keliling PQRS = 4*sqrt(5) + 4*sqrt(2) satuan.

Jawaban:
a. Koordinat titik P adalah (2, 0) dan koordinat titik R adalah (2, -4).
b. Luas PQRS adalah 12 satuan luas.
c. Keliling PQRS adalah 4*sqrt(5) + 4*sqrt(2) satuan.