Diketahui limas beraturan T.ABCD dengan AB=AT=2 cm.

Nilai tangen sudut adalah \sqrt{2}.

Pembahasan

Untuk menentukan nilai tangen sudut yang dibentuk antara bidang TAB dan bidang ABCD pada limas beraturan T.ABCD, kita perlu mengikuti langkah-langkah berikut:

1.  **Pahami Konsep Sudut Antara Dua Bidang:** Sudut antara dua bidang adalah sudut yang dibentuk oleh dua garis yang tegak lurus terhadap garis potong kedua bidang tersebut, dan kedua garis tersebut terletak pada bidang yang berbeda.

2.  **Identifikasi Garis Potong:** Garis potong antara bidang TAB dan bidang ABCD adalah garis AB.

3.  **Cari Garis Tegak Lurus pada Setiap Bidang:**
    *   Pada bidang ABCD, kita perlu garis yang tegak lurus AB. Karena ABCD adalah alas limas beraturan (biasanya berbentuk persegi atau persegi panjang), kita bisa mengambil titik tengah sisi AD atau BC, atau titik tengah sisi alas lainnya, dan menarik garis tegak lurus ke AB. Namun, cara yang lebih umum adalah dengan menggunakan tinggi dari segitiga TAB ke AB.
    *   Pada bidang TAB, kita perlu garis yang tegak lurus AB. Karena limas beraturan T.ABCD, maka sisi tegaknya (TAB, TBC, TCD, TAD) adalah segitiga sama kaki atau sama sisi. Diberikan AB = AT = 2 cm. Ini menyiratkan bahwa segitiga TAB adalah segitiga sama sisi, karena AB adalah sisi alas dan AT adalah rusuk tegak, dan keduanya sama panjang. Jika TAB adalah segitiga sama sisi, maka semua sisinya adalah 2 cm, termasuk TB = 2 cm.

4.  **Buat Garis Bantu:**
    *   Karena TAB adalah segitiga sama sisi dengan sisi 2 cm, mari kita tarik garis tinggi dari T ke AB. Misalkan titik potongnya adalah M. Maka TM adalah garis tinggi dan juga garis berat, sehingga AM = MB = 1 cm.
    *   Pada bidang alas ABCD, kita perlu garis yang tegak lurus AB dan melalui titik M (atau titik lain yang relevan). Karena limas beraturan, alasnya adalah persegi. Jika kita memproyeksikan M ke alas ABCD, kita akan mendapatkan titik tengah alas. Namun, untuk mencari sudut antara bidang, kita perlu garis yang tegak lurus AB dan berada di bidang ABCD.
    *   Cara yang lebih mudah adalah dengan mengambil titik tengah AB, yaitu M. Tarik garis dari M tegak lurus AB ke arah dalam bidang ABCD. Misalkan titik tersebut adalah P. Maka MP tegak lurus AB.
    *   Karena limas beraturan, titik T diproyeksikan tegak lurus ke pusat alas. Jika alasnya persegi, pusatnya adalah perpotongan diagonal. Namun, kita perlu sudut antara bidang TAB dan ABCD. Titik M adalah titik tengah AB.
    *   Karena ABCD adalah alas persegi (asumsi dari limas beraturan), dan M adalah titik tengah AB, maka garis yang tegak lurus AB dan berada di bidang ABCD serta berhubungan dengan limas adalah garis yang melalui M dan sejajar dengan AD atau BC. Misalkan kita ambil titik P pada AD sehingga MP sejajar dengan CD dan tegak lurus AB. Atau, jika kita mempertimbangkan simetri, kita bisa mengambil titik O sebagai pusat alas (perpotongan diagonal). Maka TO tegak lurus alas.

    *   Pendekatan yang lebih tepat:
        *   Ambil M sebagai titik tengah AB. TM adalah tinggi segitiga T.A.B. Karena segitiga T.A.B sama sisi, TM tegak lurus AB. Panjang TM dapat dihitung menggunakan teorema Pythagoras pada segitiga TAM: $TM^2 = AT^2 - AM^2 = 2^2 - 1^2 = 4 - 1 = 3$, sehingga $TM = \sqrt{3}$ cm.
        *   Pada bidang alas ABCD, ambil titik P sedemikian rupa sehingga MP tegak lurus AB dan P berada di bidang ABCD. Karena limas beraturan, alasnya adalah persegi. Jika M adalah titik tengah AB, maka garis yang tegak lurus AB dan melalui M di bidang alas adalah garis yang sejajar dengan sisi AD dan BC. Mari kita ambil P sebagai titik tengah CD. Maka MP adalah garis penghubung titik tengah dua sisi sejajar pada persegi, sehingga panjang MP = panjang sisi alas (misalnya AB atau BC), yaitu 2 cm. Namun, MP tidak tegak lurus AB.

    *   **Pendekatan yang benar menggunakan proyeksi:**
        *   Titik T berada di atas alas.
        *   Bidang alas adalah ABCD.
        *   Bidang TAB.
        *   Garis potong adalah AB.
        *   Ambil M sebagai titik tengah AB. TM tegak lurus AB (karena TAB sama sisi). $TM = \sqrt{3}$.
        *   Pada bidang alas ABCD, tarik garis dari M yang tegak lurus AB. Garis ini akan berada di bidang alas. Karena limas beraturan, biasanya alasnya adalah persegi. Misalkan alasnya adalah persegi ABCD dengan sisi 2 cm. Maka M adalah titik tengah AB. Tarik garis dari M ke titik tengah CD, sebut saja N. Maka MN tegak lurus AB dan MN = 2 cm.
        *   Sudut yang dibentuk antara bidang TAB dan ABCD adalah sudut antara TM dan MN, yaitu sudut TMN.
        *   Dalam segitiga TMN:
            *   TM = $\sqrt{3}$ (tinggi segitiga TAB)
            *   MN = 2 (jarak antara titik tengah sisi sejajar AB dan CD pada alas persegi)
            *   TN = $\sqrt{3}$ (karena TBC juga segitiga sama sisi jika TB=2 dan BC=2).
            
        *   Kita perlu mencari sudut TMN. Kita dapat menggunakan aturan kosinus pada segitiga TMN.
            $TN^2 = TM^2 + MN^2 - 2 \cdot TM \cdot MN \cdot \cos(\angle TMN)$
            $(\sqrt{3})^2 = (\sqrt{3})^2 + 2^2 - 2 \cdot \sqrt{3} \cdot 2 \cdot \cos(\angle TMN)$
            $3 = 3 + 4 - 4\sqrt{3} \cos(\angle TMN)$
            $0 = 4 - 4\sqrt{3} \cos(\angle TMN)$
            $4\sqrt{3} \cos(\angle TMN) = 4$
            $\cos(\angle TMN) = \frac{4}{4\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$
            
        *   Pertanyaannya adalah nilai tangen sudut. Kita tahu $\cos(\angle TMN) = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
        *   Kita bisa mencari sin menggunakan identitas $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$.
            $\sin^2(\angle TMN) = 1 - (\frac{1}{\sqrt{3}})^2 = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$
            $\sin(\angle TMN) = \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$
            
        *   Sekarang kita cari tangennya:
            $\tan(\angle TMN) = \frac{\sin(\angle TMN)}{\cos(\angle TMN)} = \frac{\sqrt{2}/\sqrt{3}}{1/\sqrt{3}} = \sqrt{2}$

   Jadi, nilai tangen sudut yang dibentuk antara bidang TAB dan bidang ABCD adalah $\sqrt{2}$.