Diketahui limas segi empat beraturan T.ABCD. Panjang AB=16

√2/2

Pembahasan

Diketahui limas segi empat beraturan T.ABCD. Panjang rusuk alas AB = 16 cm, dan panjang rusuk tegak TC = 8√3 cm. P adalah titik tengah AB dan Q adalah titik tengah CD. Kita perlu mencari nilai cosinus sudut antara bidang TPQ dan TBC.

Karena ABCD adalah segi empat beraturan, maka alasnya adalah persegi. P adalah titik tengah AB, dan Q adalah titik tengah CD. Garis PQ akan sejajar dengan BC dan AD, serta panjang PQ = BC = AD = 16 cm.

Karena T.ABCD adalah limas segi empat beraturan, maka TA = TB = TC = TD.

Sekarang kita tinjau segitiga TBC. Karena TB = TC, segitiga TBC adalah segitiga sama kaki. Untuk mencari sudut antara bidang TPQ dan TBC, kita perlu mencari sudut antara garis TP (yang tegak lurus PQ di P, karena TP adalah tinggi limas jika kita memproyeksikan T ke alas) dan garis TC (atau TB).

Namun, TP tidak harus tegak lurus BC. Sudut antara dua bidang adalah sudut antara dua garis yang tegak lurus pada garis potong kedua bidang tersebut.
Garis potong antara bidang TPQ dan TBC adalah garis BC.

Dalam bidang alas, PQ sejajar BC. Jarak dari T ke PQ adalah tinggi limas jika alasnya persegi dengan titik tengah sisi AB dan CD. Titik tengah alas persegi ABCD adalah O. Maka TO adalah tinggi limas.

Dalam segitiga TBC, karena TB = TC = 8√3, kita perlu mencari panjang TB dan TC. Informasi TC = 8√3 sudah diberikan. Kita perlu mencari TB.
Karena alasnya persegi, diagonal AC = BD = √(16² + 16²) = 16√2. Jarak dari O ke B adalah OB = (1/2) * 16√2 = 8√2.
Dalam segitiga TOB (siku-siku di O), TB² = TO² + OB².
Kita tidak tahu TO. Informasi TC = 8√3 seharusnya berlaku untuk semua rusuk tegak.

Mari kita asumsikan TC merujuk pada rusuk tegak TC, bukan tinggi sisi tegak.
Misalkan T adalah puncak limas, ABCD adalah alas persegi. P adalah titik tengah AB, Q adalah titik tengah CD.
Bidang TPQ sejajar dengan bidang alas jika T berada di atas titik tengah alas. Bidang TBC adalah salah satu sisi tegak.

Untuk mencari sudut antara bidang TPQ dan TBC, kita perlu garis yang tegak lurus pada BC di kedua bidang.
Dalam bidang TBC, kita perlu garis dari T yang tegak lurus BC. Karena TBC sama kaki (TB=TC), garis tinggi dari T ke BC akan jatuh di titik tengah BC, sebut saja M.

Dalam bidang TPQ, kita perlu garis yang tegak lurus BC. Karena PQ sejajar BC, garis yang tegak lurus PQ (dan karenanya BC) di bidang TPQ akan tegak lurus PQ. TP adalah garis yang menghubungkan puncak T ke titik tengah sisi alas AB. Jika alasnya persegi, maka garis dari T ke titik tengah alas (O) adalah tinggi limas, dan TO tegak lurus bidang alas. Jika P adalah titik tengah AB, maka TP adalah apotema sisi TAB. TQ adalah apotema sisi TCD. TP = TQ.

Dalam segitiga TBC, TB = TC = 8√3, BC = 16. M adalah titik tengah BC, maka BM = MC = 8.
Dalam segitiga TMC (siku-siku di M), TC² = TM² + MC².
(8√3)² = TM² + 8²
192 = TM² + 64
TM² = 192 - 64 = 128
TM = √128 = 8√2.
TM adalah tinggi segitiga TBC.

Sekarang kita perlu garis di bidang TPQ yang tegak lurus BC. Karena PQ sejajar BC, garis ini harus tegak lurus PQ. Garis TP dan TQ berada di bidang TPQ. Karena limas beraturan, segitiga TAB dan TCD sama kaki, dan TP = TQ.
Dalam segitiga TBC, sudut antara bidang TPQ dan TBC adalah sudut antara garis yang tegak lurus BC di kedua bidang.
Di bidang TBC, garisnya adalah TM.
Di bidang TPQ, kita perlu garis yang tegak lurus PQ (yang sejajar BC). Karena TP = TQ, segitiga TPQ sama kaki. Jarak dari T ke PQ adalah tinggi segitiga TPQ. Karena P adalah titik tengah AB dan Q adalah titik tengah CD, PQ adalah garis yang menghubungkan kedua titik tengah sisi sejajar pada alas persegi. Jarak PQ adalah sama dengan sisi alas, yaitu 16 cm.

Jika kita memproyeksikan T ke bidang alas di O (titik pusat persegi), maka TO adalah tinggi limas. OP = OQ = 16/2 = 8. Segitiga TPQ adalah segitiga sama kaki dengan alas PQ = 16. TP = TQ.
Dalam segitiga TPO (siku-siku di O), TP² = TO² + OP².
Kita perlu TO. Kita tahu TC = 8√3. Dalam segitiga TCO (siku-siku di O), TC² = TO² + OC².
OC = diagonal / 2 = (16√2) / 2 = 8√2.
(8√3)² = TO² + (8√2)²
192 = TO² + 128
TO² = 192 - 128 = 64
TO = 8.

Maka, TP² = TO² + OP² = 8² + 8² = 64 + 64 = 128.
TP = √128 = 8√2.
Jadi, TP = TQ = 8√2.

Sekarang kita punya segitiga TPQ dengan sisi TP = 8√2, TQ = 8√2, dan PQ = 16.
Kita perlu garis di bidang TPQ yang tegak lurus PQ. Garis tinggi dari T ke PQ akan jatuh di titik tengah PQ, sebut saja N. Segitiga TPN siku-siku di N.
TP² = TN² + PN²
(8√2)² = TN² + (16/2)²
128 = TN² + 8²
128 = TN² + 64
TN² = 64
TN = 8.

Jadi, kita punya dua garis: TM (tegak lurus BC di bidang TBC) dan TN (tegak lurus PQ di bidang TPQ). Karena PQ sejajar BC, TM dan TN membentuk sudut yang sama dengan sudut antara kedua bidang.

Namun, cara yang lebih mudah adalah menggunakan proyeksi.
Luas bidang TBC = (1/2) * BC * TM = (1/2) * 16 * 8√2 = 64√2.
Luas proyeksi bidang TBC ke bidang TPQ. Bidang TPQ memiliki alas PQ. Tinggi T ke PQ adalah TN = 8.
Kita perlu mencari sudut antara bidang TPQ dan TBC. Sudut ini adalah sudut antara garis normal kedua bidang.

Cara lain: Gunakan vektor.
Cara lain: Gunakan aturan kosinus pada segitiga yang dibentuk oleh garis-garis tersebut.

Misalkan kita ambil titik P di AB dan Q di CD. Bidang TPQ adalah bidang yang melalui T, P, Q. Bidang TBC adalah bidang yang melalui T, B, C.

Kita perlu sudut antara bidang TPQ dan TBC. Ini adalah sudut antara garis yang tegak lurus pada garis potong BC.
Di bidang TBC, garis tinggi dari T ke BC adalah TM, dengan TM = 8√2.
Di bidang TPQ, kita perlu garis yang tegak lurus PQ. Karena PQ sejajar BC, kita perlu garis tegak lurus PQ. Ini adalah garis tinggi TN di segitiga TPQ, dengan TN = 8.

Sekarang, kita perlu sudut antara TM dan TN. Namun, TM dan TN tidak terletak pada bidang yang sama.

Mari kita gunakan definisi sudut antara dua bidang: sudut antara dua garis yang tegak lurus pada garis potong kedua bidang, dan kedua garis itu terletak pada bidang yang tegak lurus pada garis potong.

Garis potong adalah BC.
Di bidang TBC, TM ⊥ BC.
Di bidang TPQ, PQ sejajar BC. Kita perlu garis di bidang TPQ yang tegak lurus BC. Ini adalah garis tegak lurus PQ. Garis tinggi TN ⊥ PQ.

Sudut antara bidang TPQ dan TBC adalah sudut antara TM dan TN jika M dan N berada pada garis yang sama, atau jika kedua garis tersebut tegak lurus pada BC di titik yang sama.

Pusatkan koordinat di O. O = (0,0,0). A = (-8, -8, 0), B = (8, -8, 0), C = (8, 8, 0), D = (-8, 8, 0).
T = (0, 0, 8).
P = titik tengah AB = (0, -8, 0).
Q = titik tengah CD = (0, 8, 0).

Bidang TPQ adalah bidang yang melalui T(0,0,8), P(0,-8,0), Q(0,8,0). Karena P, O, Q terletak pada sumbu y, dan T terletak pada sumbu z, bidang TPQ adalah bidang x=0 (yaitu bidang yz).

Bidang TBC adalah bidang yang melalui T(0,0,8), B(8,-8,0), C(8,8,0).
Normal vektor untuk bidang TPQ (x=0) adalah n1 = (1, 0, 0).

Untuk bidang TBC, kita cari vektor normalnya.
TB = B - T = (8, -8, -8)
TC = C - T = (8, 8, -8)

n2 = TB x TC = det([[i, j, k], [8, -8, -8], [8, 8, -8]])
  = i((-8)(-8) - (-8)(8)) - j((8)(-8) - (-8)(8)) + k((8)(8) - (-8)(8))
  = i(64 + 64) - j(-64 + 64) + k(64 + 64)
  = 128i + 0j + 128k = (128, 0, 128)
Kita bisa ambil normal vektor n2 = (1, 0, 1).

Sudut alpha antara dua bidang adalah sudut antara normal vektornya.
cos(alpha) = |n1 · n2| / (||n1|| ||n2||)
n1 · n2 = (1)(1) + (0)(0) + (0)(1) = 1
||n1|| = √(1² + 0² + 0²) = 1
||n2|| = √(1² + 0² + 1²) = √2

cos(alpha) = |1| / (1 * √2) = 1/√2 = √2/2.

Nilai cos alpha adalah √2/2.