Diketahui limas T.ABCD merupakan limas beraturan dengan

EH:FG = 4:7

Pembahasan

Ini adalah soal geometri ruang yang melibatkan perbandingan dan bidang sejajar pada limas beraturan.
Misalkan panjang sisi alas bujur sangkar ABCD adalah 'a'. Karena limas T.ABCD beraturan, maka TA = TB = TC = TD.

Diketahui:
- Limas T.ABCD beraturan dengan alas bujur sangkar.
- E pada TA dengan TE:EA = 2:3, sehingga TE = (2/5)TA.
- F pada TB dengan TF:FB = 7:3, sehingga TF = (7/10)TB.
- Bidang melalui EF sejajar BC memotong TC di G dan TD di H.

Karena bidang EFGH sejajar BC dan BC sejajar AD, maka bidang EFGH juga sejajar AD. Selain itu, karena alasnya bujur sangkar, BC sejajar AD dan BC = AD.

Karena bidang EFGH sejajar BC (dan AD), maka EF sejajar BC, FG sejajar AB, GH sejajar AD, dan HE sejajar DC. Ini berarti EFGH adalah sebuah jajar genjang, dan karena EF sejajar BC dan BC tegak lurus AB, maka EF tegak lurus AB, yang menyiratkan EFGH adalah persegi panjang.

Namun, ada kesalahan dalam asumsi ini karena bidangnya sejajar BC, bukan sejajar alas. Bidang yang sejajar BC dan memotong rusuk-rusuk limas akan membentuk penampang yang sebangun dengan penampang yang dibentuk oleh rusuk-rusuk tegak dan garis sejajar BC pada alas.

Karena bidang EFGH sejajar BC, maka segitiga TEF sebangun dengan segitiga TAB, dan segitiga TGH sebangun dengan segitiga TCD. Lebih tepatnya, karena bidangnya sejajar BC, maka EH akan sejajar AD dan FG akan sejajar AB.

Dari perbandingan TE:EA = 2:3, maka TE/TA = 2/5.
Dari perbandingan TF:FB = 7:3, maka TF/TB = 7/10.
Karena EF sejajar AB, maka TE/TA = TF/TB = EF/AB.
Namun, 2/5 tidak sama dengan 7/10. Ini menunjukkan ada kemungkinan kesalahan dalam interpretasi soal atau soal tersebut memiliki kondisi yang tidak konsisten jika diasumsikan EF sejajar AB.

Mari kita asumsikan bidang yang melalui EF dan sejajar BC berarti bahwa garis-garis pada bidang tersebut sejajar dengan BC. Karena EFGH sejajar BC, maka EH juga sejajar BC dan FG juga sejajar BC. Ini tidak mungkin terjadi dalam limas.

Asumsi yang lebih tepat adalah bidang EFGH memotong TC di G dan TD di H sedemikian rupa sehingga bidang EFGH sejajar dengan garis BC. Karena alasnya bujur sangkar, BC sejajar AD.

Maka, segitiga TEF tidak harus sebangun dengan segitiga TAB. Namun, karena bidang EFGH sejajar BC, maka EH sejajar AD dan FG sejajar AB. Ini berarti $\Delta$TEH sebangun dengan $\Delta$TAD dan $\Delta$TFG sebangun dengan $\Delta$TAB.

Dari titik T, kita memiliki:
TE/TA = 2/5
TF/TB = 7/10

Karena bidang EFGH sejajar BC, maka kita perlu melihat bagaimana perbandingan ini mempengaruhi G di TC dan H di TD.
Jika bidangnya sejajar BC, maka EH sejajar AD dan FG sejajar AB. Ini menyiratkan bahwa $\Delta$TEH $\sim$ $\Delta$TAD dan $\Delta$TFG $\sim$ $\Delta$TAB.

Untuk $\Delta$TEH $\sim$ $\Delta$TAD, kita punya TE/TA = TH/TD = EH/AD.
TE/TA = 2/5.

Untuk $\Delta$TFG $\sim$ $\Delta$TAB, kita punya TF/TB = TG/TC = FG/AB.
TF/TB = 7/10.

Namun, informasi ini tidak cukup untuk menentukan EH:FG kecuali ada hubungan antara perbandingan pada TC dan TD dengan perbandingan pada TA dan TB.

Jika kita mengasumsikan bahwa bidang EFGH sejajar dengan alas ABCD, maka EF sejajar AB, FG sejajar BC, GH sejajar CD, dan HE sejajar DA. Dalam kasus ini, $\Delta$TEF $\sim$ $\Delta$TAB dan $\Delta$TGH $\sim$ $\Delta$TCD. Maka TE/TA = TF/TB = TG/TC = TH/TD = EF/AB = FG/BC = GH/CD = HE/DA.

Tetapi soal menyatakan bidang sejajar BC, bukan sejajar alas.

Mari kita pertimbangkan proyeksi pada bidang alas. Misalkan O adalah pusat alas. Proyeksi T ke alas adalah O.

Karena bidang EFGH sejajar BC, maka EH sejajar BC dan FG sejajar BC. Ini tidak masuk akal.

Interpretasi yang mungkin adalah bidang EFGH memotong rusuk TC dan TD sedemikian rupa sehingga bidang EFGH sejajar dengan vektor BC.

Misalkan T adalah titik asal (0,0,0). Misalkan A=(a,0,0), B=(0,a,0), C=(a,a,0), D=(0,a,0) --- ini salah karena alasnya bujur sangkar. 
Misalkan alas ABCD terletak pada bidang z=0. A=(L, L, 0), B=(-L, L, 0), C=(-L, -L, 0), D=(L, -L, 0). Titik T=(0, 0, h).

VEKTOR:
TA = A - T = (L, L, -h)
TB = B - T = (-L, L, -h)
TC = C - T = (-L, -L, -h)
TD = D - T = (L, -L, -h)

E pada TA dengan TE:EA = 2:3, maka E = T + (2/5)(A-T) = (2/5)A = (2L/5, 2L/5, 0).
F pada TB dengan TF:FB = 7:3, maka F = T + (7/10)(B-T) = (7/10)B = (-7L/10, 7L/10, 0).

Ini juga salah karena E dan F harus berada pada rusuk TA dan TB, bukan pada alas.

Mari kita gunakan perbandingan vektor:
E = (1-t)T + tA, dengan t = TE/TA = 2/5. Jadi E = (2/5)A.
F = (1-s)T + sB, dengan s = TF/TB = 7/10. Jadi F = (7/10)B.

Ini mengasumsikan T adalah titik asal, sehingga E = (2/5)A dan F = (7/10)B.

Bidang melalui EF sejajar BC. Vektor BC = C - B = (-L, -L, 0) - (-L, L, 0) = (0, -2L, 0). Ini adalah vektor arah sejajar sumbu y negatif.

Sebuah bidang yang sejajar BC memiliki normal vektor yang tegak lurus terhadap BC. Vektor normal n harus memenuhi n . BC = 0.
Misalkan bidang EFGH adalah $\alpha$. Jika $\alpha$ sejajar BC, maka arah BC sejajar dengan bidang $\alpha$.

G pada TC, H pada TD.
G = (1-u)T + uC = uC
H = (1-v)T + vD = vD

Bidang EFGH dibentuk oleh titik E, F, G, H. Vektor arah dalam bidang ini adalah EF, EG, EH, FG, FH, GH.
EF = F - E = (7/10)B - (2/5)A
EH = H - E = vD - (2/5)A
FG = G - F = uC - (7/10)B

Karena bidang EFGH sejajar BC, maka vektor EH sejajar AD dan vektor FG sejajar AB.
Ini berarti $\Delta$TEH $\sim$ $\Delta$TAD dan $\Delta$TFG $\sim$ $\Delta$TAB.

Dari $\Delta$TEH $\sim$ $\Delta$TAD:
TE/TA = TH/TD = EH/AD = 2/5.
EH = (2/5)AD.

Dari $\Delta$TFG $\sim$ $\Delta$TAB:
TF/TB = TG/TC = FG/AB = 7/10.
FG = (7/10)AB.

Karena alasnya bujur sangkar, AD = AB.
Maka, EH = (2/5)AB dan FG = (7/10)AB.

Jadi, EH:FG = (2/5)AB : (7/10)AB = (2/5) : (7/10) = (4/10) : (7/10) = 4:7.

Mari kita periksa kembali interpretasi soal.