Diketahui matriks A=( 1/2 -1/2 -1/2 x ). Jika |A|

Konvergen ke (2x - 1) / (5 - 2x) jika -3/2 < x < 5/2.

Pembahasan

Misalkan matriks A = [[1/2, -1/2], [-1/2, x]]. Determinan matriks A, dilambangkan dengan |A|, dihitung sebagai:
|A| = (1/2 * x) - (-1/2 * -1/2)
|A| = 1/2 x - 1/4

Kita diberikan deret geometri tak hingga: |A| + |A|^2 + |A|^3 + ...
Ini adalah deret geometri dengan suku pertama a = |A| dan rasio r = |A|.
Deret geometri tak hingga konvergen jika nilai mutlak rasio (|r|) kurang dari 1, yaitu |r| < 1.
Dalam kasus ini, kita memerlukan ||A|| < 1, yang berarti -1 < |A| < 1.
Substitusikan nilai |A|:
-1 < 1/2 x - 1/4 < 1

Untuk menyelesaikan ketidaksetaraan ini, kita tambahkan 1/4 ke semua bagian:
-1 + 1/4 < 1/2 x < 1 + 1/4
-3/4 < 1/2 x < 5/4

Kemudian, kita kalikan semua bagian dengan 2:
2 * (-3/4) < x < 2 * (5/4)
-3/2 < x < 5/2

Jumlah (S) dari deret geometri tak hingga yang konvergen diberikan oleh rumus S = a / (1 - r).
Dalam kasus ini, a = |A| dan r = |A|, sehingga:
S = |A| / (1 - |A|)
S = (1/2 x - 1/4) / (1 - (1/2 x - 1/4))
S = (1/2 x - 1/4) / (1 - 1/2 x + 1/4)
S = (1/2 x - 1/4) / (5/4 - 1/2 x)

Untuk menyederhanakan lebih lanjut, kita bisa mengalikan pembilang dan penyebut dengan 4:
S = (4 * (1/2 x - 1/4)) / (4 * (5/4 - 1/2 x))
S = (2x - 1) / (5 - 2x)

Jadi, jika deret geometri tersebut konvergen, maka nilai jumlahnya adalah (2x - 1) / (5 - 2x), dengan syarat -3/2 < x < 5/2.