Diketahui matriks: A^T=(1 2 -1 k 2 1), B=(0 3 2 1 1 -1),

1/4

Pembahasan

Diketahui matriks $A^T = egin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \ k & 2 & 1 	ext{ 	ext{ (asumsi baris kedua)}} 	ext{ 	ext{ atau kolom kedua jika A adalah 3x2)}} 	ext{ 	ext{, mari kita asumsikan A adalah 2x3 sehingga } A^T 	ext{ adalah 3x2. Namun, format soal agak ambigu. Kita akan berasumsi } A^T 	ext{ adalah } egin{pmatrix} 1 & k \ 2 & 2 \ -1 & 1 	ext{ (jika A adalah 3x2)}} 	ext{ 	ext{ atau } } A^T = egin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \ k & 2 & 1 	ext{ (jika A adalah 2x3)}} 	ext{ 	ext{. Keterangan soal tidak jelas untuk A^T.}} 

Mari kita asumsikan $A = egin{pmatrix} 1 & k \ 2 & 2 \ -1 & 1 	ext{ (jika A adalah 3x2)}} 	ext{ 	ext{ maka } } A^T = egin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \ k & 2 & 1 	ext{ (ini cocok dengan format soal)}} 	ext{ 	ext{. Jadi kita asumsikan A adalah 2x3.}} 

$B = egin{pmatrix} 0 & 3 & 2 \ 1 & 1 & -1 	ext{ (ini juga ambigu, diasumsikan 2 baris, 3 kolom)}} 	ext{ 	ext{. Atau } B = egin{pmatrix} 0 \ 3 \ 2 \ 1 \ 1 \ -1 	ext{ (jika B adalah 6x1)}} 	ext{ 	ext{. Diasumsikan B adalah 2x3 sesuai format A^T.}} 

$B^T = egin{pmatrix} 0 & 1 \ 3 & 1 \ 2 & -1 	ext{ (transpose dari B 2x3)}} 	ext{ 	ext{.}} 

Sekarang kita hitung $AB^T$. A adalah 2x3, $B^T$ adalah 3x2. Hasilnya akan menjadi matriks 2x2. Agar $(AB^T)^{-1}$ ada, determinan $AB^T$ tidak boleh nol.

$A = egin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \ k & 2 & 1 	ext{ (asumsi A adalah 2x3, tapi soal menulis A^T = (1 2 -1 k 2 1) yang berarti A adalah 3x2 dan A^T adalah 2x3)}} 	ext{ 	ext{.** Mari kita gunakan definisi soal:**} 

$A^T = egin{pmatrix} 1 & k \ 2 & 2 \ -1 & 1 	ext{ (jika A adalah 3x2)}} 	ext{ 	ext{. Maka } } A = egin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \ k & 2 & 1 	ext{ (ini cocok dengan format soal)}} 	ext{ 	ext{. Jadi A adalah 2x3.}} 

$B = egin{pmatrix} 0 & 3 & 2 \ 1 & 1 & -1 	ext{ (asumsi B adalah 2x3)}} 	ext{ 	ext{. Maka } } B^T = egin{pmatrix} 0 & 1 \ 3 & 1 \ 2 & -1 	ext{ (transpose B)}} 	ext{ 	ext{.}} 

$AB^T = egin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \ k & 2 & 1 	ext{ (A 2x3)}} 	imes egin{pmatrix} 0 & 1 \ 3 & 1 \ 2 & -1 	ext{ (B^T 3x2)}} 
AB^T = egin{pmatrix} (1*0 + 2*3 + -1*2) & (1*1 + 2*1 + -1*-1) \ (k*0 + 2*3 + 1*2) & (k*1 + 2*1 + 1*-1) 	ext{ (AB^T adalah 2x2)}} 
AB^T = egin{pmatrix} (0+6-2) & (1+2+1) \ (0+6+2) & (k+2-1) 	ext{}} 
AB^T = egin{pmatrix} 4 & 4 \ 8 & k+1 	ext{}} 

Diketahui $	ext{det}(AB^T) = 12$. 
$	ext{det}(AB^T) = (4)(k+1) - (4)(8) = 4k + 4 - 32 = 4k - 28$.

$4k - 28 = 12$
$4k = 40$
$k = 10$

Sehingga, $AB^T = egin{pmatrix} 4 & 4 \ 8 & 10+1 	ext{}} = egin{pmatrix} 4 & 4 \ 8 & 11 	ext{}} 

$(AB^T)^{-1} = rac{1}{	ext{det}(AB^T)} egin{pmatrix} 11 & -4 \ -8 & 4 	ext{}} = rac{1}{12} egin{pmatrix} 11 & -4 \ -8 & 4 	ext{}} = egin{pmatrix} 11/12 & -4/12 \ -8/12 & 4/12 	ext{}} = egin{pmatrix} 11/12 & -1/3 \ -2/3 & 1/3 	ext{}} 

Jadi, $egin{pmatrix} a & b \ c & d 	ext{}} = egin{pmatrix} 11/12 & -1/3 \ -2/3 & 1/3 	ext{}} 

Nilai dari $(a+b+c+d)$ adalah:
$a+b+c+d = 11/12 + (-1/3) + (-2/3) + 1/3$
$a+b+c+d = 11/12 - 1/3 - 2/3 + 1/3$
$a+b+c+d = 11/12 - 2/3$
$a+b+c+d = 11/12 - 8/12$
$a+b+c+d = 3/12$
$a+b+c+d = 1/4$

Ada kemungkinan interpretasi lain untuk soal ini terkait dimensi matriks A dan B, namun dengan asumsi yang paling umum diberikan formatnya, hasil ini didapatkan.