Perhatikan gambar berikut. Y P y=x -2 Q 0 2 R y=4-x Luas

8

Pembahasan

Untuk menghitung luas daerah yang diarsir, kita perlu mengidentifikasi fungsi-fungsi yang membentuk batas daerah tersebut dan titik-titik potongnya. Berdasarkan gambar, daerah yang diarsir dibatasi oleh garis y = x - 2, y = 4 - x, dan sumbu y (x=0). Pertama, cari titik potong antara kedua garis: x - 2 = 4 - x => 2x = 6 => x = 3. Karena kita tertarik pada daerah yang diarsir pada gambar, titik potong yang relevan adalah di mana garis berpotongan dengan sumbu y dan antara kedua garis. Fungsi batas atas adalah y = 4 - x dan fungsi batas bawah adalah y = x - 2. Daerah yang diarsir terletak di antara x=0 dan titik potong kedua garis. Namun, dari gambar, terlihat bahwa daerah yang diarsir dibatasi oleh sumbu y (x=0) pada sisi kiri, garis y=x-2 pada sisi kanan bawah, dan garis y=4-x pada sisi kanan atas. Terdapat kesalahan dalam interpretasi gambar jika kita menganggap kedua garis berpotongan di dalam daerah yang diarsir tanpa memperhatikan batas sumbu y. Mari kita asumsikan daerah yang diarsir adalah daerah di bawah garis y=4-x dan di atas garis y=x-2, dibatasi oleh sumbu y di sebelah kiri dan titik potong kedua garis di sebelah kanan. Titik potong kedua garis adalah x=3. Namun, gambar menunjukkan daerah yang diarsir terbatas pada x=0 hingga x=2 pada sumbu x. Jika kita mengintegrasikan dari x=0 hingga x=2, maka batas atas adalah y=4-x dan batas bawah adalah y=x-2. Luas = integral dari 0 sampai 2 dari [(4-x) - (x-2)] dx = integral dari 0 sampai 2 dari [6 - 2x] dx = [6x - x^2] dari 0 sampai 2 = (6*2 - 2^2) - (6*0 - 0^2) = (12 - 4) - 0 = 8. Namun, jika kita melihat gambar dengan lebih cermat, daerah yang diarsir dibatasi oleh sumbu y (x=0) di sebelah kiri, garis y=x-2 di bawah, dan garis y=4-x di atas, hingga titik potong kedua garis. Titik potong kedua garis adalah x=3. Namun, daerah yang ditunjukkan pada gambar sepertinya hanya sampai x=2. Jika kita menganggap daerah yang diarsir adalah daerah antara kedua garis dari x=0 sampai x=2, maka perhitungannya adalah sebagai berikut: Luas = integral dari 0 sampai 2 [(4-x) - (x-2)] dx = integral dari 0 sampai 2 (6-2x) dx = [6x - x^2] dari 0 sampai 2 = (12-4) - 0 = 8. Mari kita periksa kembali batas-batas integral berdasarkan titik-titik pada gambar. Garis y=x-2 memotong sumbu x di x=2. Garis y=4-x memotong sumbu y di y=4 dan sumbu x di x=4. Kedua garis berpotongan di x=3. Daerah yang diarsir tampak dibatasi oleh sumbu y (x=0), garis y=x-2, dan garis y=4-x. Titik potong antara y=x-2 dan sumbu y adalah (0,-2). Titik potong antara y=4-x dan sumbu y adalah (0,4). Titik potong antara y=x-2 dan sumbu x adalah (2,0). Titik potong antara y=4-x dan sumbu x adalah (4,0). Titik potong kedua garis adalah (3,1). Daerah yang diarsir adalah segitiga dengan titik sudut (0,4), (0,-2), dan (3,1). Ini bisa dihitung dengan luas trapesium di atas sumbu x dikurangi luas segitiga di bawah sumbu x, atau dengan menghitung luas segitiga besar dikurangi luas segitiga kecil. Cara paling mudah adalah dengan memandang sebagai dua segitiga yang dipotong oleh sumbu x, atau sebagai satu segitiga besar yang dipotong oleh sumbu x. Atau, kita bisa menggunakan integral. Jika kita integralkan dari x=0 sampai x=3, batas atas adalah y=4-x dan batas bawah adalah y=x-2. Luas = integral dari 0 sampai 3 [(4-x) - (x-2)] dx = integral dari 0 sampai 3 (6-2x) dx = [6x - x^2] dari 0 sampai 3 = (18-9) - 0 = 9. Namun, gambar menunjukkan daerah yang diarsir dari x=0 hingga x=2. Jika daerahnya adalah dari x=0 sampai x=2, maka kita perlu membagi integral jika ada perubahan fungsi batas bawah/atas. Namun, pada rentang x=0 hingga x=2, garis y=4-x selalu di atas y=x-2. Jadi, Luas = integral dari 0 sampai 2 [(4-x) - (x-2)] dx = integral dari 0 sampai 2 (6-2x) dx = [6x - x^2] dari 0 sampai 2 = (12-4) - 0 = 8. Berdasarkan gambar, tampaknya titik (2,0) adalah salah satu batas. Jika kita mengintegrasikan dari x=0 hingga x=2, maka luasnya adalah 8. Jika titik Q pada gambar adalah (2,0), maka perhitungan ini benar. Jawaban yang paling sesuai dengan gambar adalah 8.