Diketahui matriks P=(4 2 8 6) dan P^T adalah transpos dari

Menentukan matriks X dari persamaan matriks $PX = P^T P$.

Pembahasan

Untuk menemukan matriks X yang memenuhi persamaan $PX = P^T P$, kita perlu mengikuti langkah-langkah berikut:

1.  **Tentukan matriks P:**
    Matriks P diberikan sebagai $P = \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 8 & 6 \end{pmatrix}$.
    (Asumsi P adalah matriks 2x2 berdasarkan formatnya. Jika P adalah matriks baris, formatnya akan berbeda).

2.  **Tentukan transpos dari matriks P ($P^T$):**
    Transpos dari matriks P, $P^T$, diperoleh dengan menukar baris menjadi kolom dan kolom menjadi baris.
    $P^T = \begin{pmatrix} 4 & 8 \\ 2 & 6 \end{pmatrix}$.

3.  **Hitung hasil perkalian $P^T P$:**
    Kita perlu mengalikan matriks $P^T$ dengan matriks P.
    $P^T P = \begin{pmatrix} 4 & 8 \\ 2 & 6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 8 & 6 \end{pmatrix}$

    Untuk menghitung hasil perkalian matriks, kita kalikan setiap baris dari matriks pertama dengan setiap kolom dari matriks kedua.
    Elemen pada baris 1, kolom 1 ($c_{11}$):
    $(4 \times 4) + (8 \times 8) = 16 + 64 = 80$

    Elemen pada baris 1, kolom 2 ($c_{12}$):
    $(4 \times 2) + (8 \times 6) = 8 + 48 = 56$

    Elemen pada baris 2, kolom 1 ($c_{21}$):
    $(2 \times 4) + (6 \times 8) = 8 + 48 = 56$

    Elemen pada baris 2, kolom 2 ($c_{22}$):
    $(2 \times 2) + (6 \times 6) = 4 + 36 = 40$

    Jadi, $P^T P = \begin{pmatrix} 80 & 56 \\ 56 & 40 \end{pmatrix}$.

4.  **Selesaikan persamaan $PX = P^T P$ untuk X:**
    Kita memiliki $P X = \begin{pmatrix} 80 & 56 \\ 56 & 40 \end{pmatrix}$.
    Untuk mencari X, kita perlu mengalikan kedua sisi persamaan dengan invers dari matriks P ($P^{-1}$), dari kiri.
    $P^{-1} (P X) = P^{-1} (P^T P)$
    $(P^{-1} P) X = P^{-1} (P^T P)$
    $I X = P^{-1} (P^T P)$
    $X = P^{-1} (P^T P)$

5.  **Hitung invers dari matriks P ($P^{-1}$):**
    Untuk matriks 2x2 $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$, inversnya adalah $A^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$.
    Untuk matriks $P = \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 8 & 6 \end{pmatrix}$:
    Determinant (det(P)) = $(4 \times 6) - (2 \times 8) = 24 - 16 = 8$.

    $P^{-1} = \frac{1}{8} \begin{pmatrix} 6 & -2 \\ -8 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{6}{8} & \frac{-2}{8} \\ \frac{-8}{8} & \frac{4}{8} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{3}{4} & \frac{-1}{4} \\ -1 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$.

6.  **Hitung $X = P^{-1} (P^T P)$:**
    $X = \begin{pmatrix} \frac{3}{4} & \frac{-1}{4} \\ -1 & \frac{1}{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 80 & 56 \\ 56 & 40 \end{pmatrix}$

    Elemen pada baris 1, kolom 1 ($x_{11}$):
    $(\frac{3}{4} \times 80) + (\frac{-1}{4} \times 56) = (3 \times 20) + (-1 \times 14) = 60 - 14 = 46$

    Elemen pada baris 1, kolom 2 ($x_{12}$):
    $(\frac{3}{4} \times 56) + (\frac{-1}{4} \times 40) = (3 \times 14) + (-1 	imes 10) = 42 - 10 = 32$

    Elemen pada baris 2, kolom 1 ($x_{21}$):
    $(-1 \times 80) + (\frac{1}{2} 	imes 56) = -80 + 28 = -52$

    Elemen pada baris 2, kolom 2 ($x_{22}$):
    $(-1 	imes 56) + (\frac{1}{2} 	imes 40) = -56 + 20 = -36$

    Jadi, matriks X adalah:
    $X = \begin{pmatrix} 46 & 32 \\ -52 & -36 \end{pmatrix}$.

    **Verifikasi:**
    $PX = \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 8 & 6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 46 & 32 \\ -52 & -36 \end{pmatrix}$
    $PX_{11} = (4 \times 46) + (2 \times -52) = 184 - 104 = 80$
    $PX_{12} = (4 \times 32) + (2 	imes -36) = 128 - 72 = 56$
    $PX_{21} = (8 	imes 46) + (6 	imes -52) = 368 - 312 = 56$
    $PX_{22} = (8 	imes 32) + (6 	imes -36) = 256 - 216 = 40$
    Hasilnya sama dengan $P^T P$. Jadi, matriks X yang ditemukan sudah benar.