Kelas 11Kelas 12mathVektor
Diketahui p=2i+4j-5k q=i+2j+3k Tentukan panjang proyeksi
Pertanyaan
Diketahui p=2i+4j-5k dan q=i+2j+3k. Tentukan panjang proyeksi dan vektor proyeksi p pada q.
Solusi
Verified
Panjang proyeksi: $\frac{5\sqrt{14}}{14}$. Vektor proyeksi: $-\frac{5}{14}i - \frac{5}{7}j - \frac{15}{14}k$
Pembahasan
Untuk menentukan panjang proyeksi dan vektor proyeksi vektor p pada vektor q, kita akan menggunakan rumus yang relevan dalam aljabar vektor. Diketahui vektor: $p = 2i + 4j - 5k$ $q = i + 2j + 3k$ Dalam notasi komponen: $p = (2, 4, -5)$ $q = (1, 2, 3)$ 1. Panjang Proyeksi p pada q: Rumus panjang proyeksi skalar p pada q adalah: $|proj_q p| = \frac{|p \cdot q|}{||q||}$ Terlebih dahulu, hitung hasil kali titik (dot product) p · q: $p \cdot q = (2)(1) + (4)(2) + (-5)(3)$ $p \cdot q = 2 + 8 - 15$ $p \cdot q = 10 - 15$ $p \cdot q = -5$ Selanjutnya, hitung panjang (magnitude) vektor q: $||q|| = \sqrt{(1)^2 + (2)^2 + (3)^2}$ $||q|| = \sqrt{1 + 4 + 9}$ $||q|| = \sqrt{14}$ Sekarang, hitung panjang proyeksi p pada q: $|proj_q p| = \frac{|-5|}{\sqrt{14}}$ $|proj_q p| = \frac{5}{\sqrt{14}}$ Untuk merasionalkan penyebutnya: $|proj_q p| = \frac{5\sqrt{14}}{14}$ 2. Vektor Proyeksi p pada q: Rumus vektor proyeksi p pada q adalah: $proj_q p = (\frac{p \cdot q}{||q||^2}) q$ Kita sudah memiliki $p \cdot q = -5$ dan $||q|| = \sqrt{14}$, sehingga $||q||^2 = 14$. $proj_q p = (\frac{-5}{14}) (1, 2, 3)$ $proj_q p = (-\frac{5}{14}, -\frac{10}{14}, -\frac{15}{14})$ $proj_q p = (-\frac{5}{14}, -\frac{5}{7}, -\frac{15}{14})$ Dalam notasi i, j, k: $proj_q p = -\frac{5}{14}i - \frac{5}{7}j - \frac{15}{14}k$ Jadi, panjang proyeksi p pada q adalah $\frac{5\sqrt{14}}{14}$ dan vektor proyeksi p pada q adalah $(-\frac{5}{14}, -\frac{5}{7}, -\frac{15}{14})$ atau $-\frac{5}{14}i - \frac{5}{7}j - \frac{15}{14}k$.
Topik: Proyeksi Vektor
Section: Panjang Proyeksi Skalar, Vektor Proyeksi
Apakah jawaban ini membantu?