Hitunglah nilai f'(pi/4) untuk masing-masing fungsi

$6 + 2\sqrt{2}$

Pembahasan

Untuk menghitung nilai $f'(\frac{\pi}{4})$ dari fungsi $f(t) = 2 \sec t + 3 \tan t - \tan \frac{\pi}{3}$, kita perlu mencari turunan pertama dari fungsi $f(t)$ terlebih dahulu.

Turunan dari $\sec t$ adalah $\sec t \tan t$.
Turunan dari $\tan t$ adalah $\sec^2 t$.
Turunan dari konstanta (seperti $\tan \frac{\pi}{3}$) adalah 0.

Maka, turunan dari $f(t)$ adalah:
$f'(t) = \frac{d}{dt}(2 \sec t + 3 \tan t - \tan \frac{\pi}{3})$
$f'(t) = 2(\sec t \tan t) + 3(\sec^2 t) - 0$
$f'(t) = 2 \sec t \tan t + 3 \sec^2 t$

Sekarang, kita substitusikan $t = \frac{\pi}{4}$ ke dalam $f'(t)$.

Kita perlu mengetahui nilai $\sec \frac{\pi}{4}$ dan $\tan \frac{\pi}{4}$.
$\cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, sehingga $\sec \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\cos \frac{\pi}{4}} = \frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$.
$\tan \frac{\pi}{4} = 1$.

Substitusikan nilai-nilai ini ke dalam $f'(t)$:
$f'(\frac{\pi}{4}) = 2 \sec \frac{\pi}{4} \tan \frac{\pi}{4} + 3 \sec^2 \frac{\pi}{4}$
$f'(\frac{\pi}{4}) = 2 (\sqrt{2})(1) + 3 (\sqrt{2})^2$
$f'(\frac{\pi}{4}) = 2\sqrt{2} + 3(2)$
$f'(\frac{\pi}{4}) = 2\sqrt{2} + 6$

Jadi, nilai $f'(\frac{\pi}{4})$ adalah $6 + 2\sqrt{2}$.