Diketahui P(6,4,2), Q(8,6,4) , dan R(2,2,2) . Tunjukkan

OPQR adalah jajargenjang karena vektor OP sama dengan vektor RQ, dan vektor OR sama dengan vektor PQ.

Pembahasan

Untuk menunjukkan bahwa OPQR adalah jajargenjang, kita perlu membuktikan bahwa salah satu pasangan sisi berhadapan sejajar dan sama panjang, atau bahwa diagonal-diagonalnya saling membagi dua sama panjang. Kita akan menggunakan vektor untuk membuktikannya.

Diketahui titik P(6,4,2), Q(8,6,4), dan R(2,2,2). Asumsikan O adalah titik asal (0,0,0).

1.  Hitung vektor-vektor yang membentuk sisi-sisi jajargenjang:
    *   Vektor $\vec{OP}$ = P - O = (6, 4, 2)
    *   Vektor $\vec{OQ}$ = Q - O = (8, 6, 4)
    *   Vektor $\vec{OR}$ = R - O = (2, 2, 2)
    *   Vektor $\vec{PQ}$ = Q - P = (8-6, 6-4, 4-2) = (2, 2, 2)
    *   Vektor $\vec{PR}$ = R - P = (2-6, 2-4, 2-2) = (-4, -2, 0)
    *   Vektor $\vec{QR}$ = R - Q = (2-8, 2-6, 2-4) = (-6, -4, -2)

2.  Periksa apakah $\vec{OP}$ sejajar dan sama panjang dengan $\vec{RQ}$ (sisi berhadapan):
    *   Vektor $\vec{RQ}$ = Q - R = (8-2, 6-2, 4-2) = (6, 4, 2)
    *   Kita lihat bahwa $\vec{OP}$ = (6, 4, 2) dan $\vec{RQ}$ = (6, 4, 2). Karena kedua vektor sama, maka sisi OP sejajar dan sama panjang dengan sisi RQ.

3.  Periksa apakah $\vec{OQ}$ sejajar dan sama panjang dengan $\vec{PR}$ (sisi berhadapan):
    *   Vektor $\vec{PR}$ = R - P = (2-6, 2-4, 2-2) = (-4, -2, 0)
    *   Vektor $\vec{OQ}$ = (8, 6, 4)
    *   Vektor $\vec{OQ}$ tidak sama dengan $\vec{PR}$. Ini berarti OPQR bukanlah jajargenjang dalam urutan tersebut.

Mari kita coba urutan lain, misalnya OPRQ.

1.  Hitung vektor-vektor yang relevan:
    *   Vektor $\vec{OP}$ = (6, 4, 2)
    *   Vektor $\vec{OR}$ = (2, 2, 2)
    *   Vektor $\vec{PQ}$ = (2, 2, 2)
    *   Vektor $\vec{RQ}$ = (6, 4, 2)

2.  Periksa apakah $\vec{OP}$ sejajar dan sama panjang dengan $\vec{RQ}$:
    *   $\vec{OP}$ = (6, 4, 2)
    *   $\vec{RQ}$ = (6, 4, 2)
    *   Keduanya sama, jadi OP sejajar dan sama panjang dengan RQ.

3.  Periksa apakah $\vec{OR}$ sejajar dan sama panjang dengan $\vec{PQ}$:
    *   $\vec{OR}$ = (2, 2, 2)
    *   $\vec{PQ}$ = (2, 2, 2)
    *   Keduanya sama, jadi OR sejajar dan sama panjang dengan PQ.

Karena kedua pasang sisi berhadapan (OP dengan RQ, dan OR dengan PQ) sejajar dan sama panjang, maka OPQR adalah jajargenjang (dengan urutan titik O, P, R, Q jika digambarkan secara berurutan).