Nilai limit x mendekati -3 (x^2+6x+9)/(2-2cos(2x+6)= ...

1/4

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu menghitung nilai limit dari fungsi yang diberikan ketika x mendekati -3.

Fungsi: lim (x→-3) [(x^2 + 6x + 9) / (2 - 2cos(2x + 6))]

Pertama, kita faktorkan bagian pembilang: x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2.

Selanjutnya, kita perhatikan bagian penyebut: 2 - 2cos(2x + 6) = 2(1 - cos(2x + 6)).

Dengan menggunakan identitas trigonometri cos(2θ) = 1 - 2sin^2(θ), kita bisa mengubah bagian penyebut. Namun, lebih mudah menggunakan substitusi.
Misalkan u = 2x + 6. Ketika x → -3, maka u → 2(-3) + 6 = 0.

Jadi, limitnya menjadi: lim (u→0) [( (u-6)/2 + 3)^2 / (2 - 2cos(u))]
= lim (u→0) [( (u-6+6)/2 )^2 / (2(1 - cos(u)))]
= lim (u→0) [(u/2)^2 / (2(1 - cos(u)))]
= lim (u→0) [u^2 / (4 * 2(1 - cos(u)))]
= lim (u→0) [u^2 / (8(1 - cos(u)))]

Kita tahu bahwa lim (u→0) [(1 - cos(u))/u^2] = 1/2. Maka, lim (u→0) [u^2 / (1 - cos(u))] = 2.

Sehingga, limitnya adalah: lim (u→0) [1/8 * (u^2 / (1 - cos(u)))] = 1/8 * 2 = 1/4.

Jadi, nilai limitnya adalah 1/4.