Diketahui A(2 -1 3) dan B(5 2 -6) sertatitik C berada di

a. Komponen vektor u = (3, 3, -9). b. Koordinat titik C = (16/5, 1/5, -3/5).

Pembahasan

a. Komponen vektor u yang mewakili ruas garis ke arah AB:
Vektor AB dihitung dengan mengurangkan koordinat titik A dari koordinat titik B.
Komponen vektor u = B - A
Komponen vektor u = (5 - 2, 2 - (-1), -6 - 3)
Komponen vektor u = (3, 3, -9)

b. Koordinat titik C:
Titik C berada di antara ruas garis AB dengan perbandingan AB:CB = 5:3. Ini berarti C membagi ruas garis AB di dalam dengan perbandingan m:n = AB:CB = 5:3. Namun, perlu diperhatikan bahwa perbandingan yang umum digunakan untuk membagi ruas garis di dalam adalah perbandingan bagian dari A ke C dibandingkan dengan bagian dari C ke B, yaitu AC:CB. Jika AB:CB = 5:3, maka panjang AB adalah 5 unit dan panjang CB adalah 3 unit. Ini berarti panjang AC adalah AB - CB = 5 - 3 = 2 unit. Jadi, perbandingan AC:CB = 2:3.

Rumus untuk mencari koordinat titik C yang membagi ruas garis AB di dalam dengan perbandingan AC:CB = m:n adalah:
C = ( (n*A_x + m*B_x) / (m+n), (n*A_y + m*B_y) / (m+n), (n*A_z + m*B_z) / (m+n) )
Dalam kasus ini, m = 2 dan n = 3.

Koordinat C_x = (3 * 2 + 2 * 5) / (2 + 3) = (6 + 10) / 5 = 16 / 5
Koordinat C_y = (3 * (-1) + 2 * 2) / (2 + 3) = (-3 + 4) / 5 = 1 / 5
Koordinat C_z = (3 * 3 + 2 * (-6)) / (2 + 3) = (9 - 12) / 5 = -3 / 5

Jadi, koordinat titik C adalah (16/5, 1/5, -3/5).

**Penting untuk dicatat:** Jika perbandingan yang dimaksud adalah AB:BC = 5:3, maka C membagi AB di luar. Namun, kalimat "C berada di antara ruas garis AB" menunjukkan pembagian di dalam. Jika maksud soal adalah perbandingan ruas garis dari A ke C terhadap C ke B adalah 5:3 (AC:CB = 5:3), maka perhitungan di atas sudah benar. Jika maksudnya adalah perbandingan total ruas garis AB terhadap ruas garis CB adalah 5:3 (AB:CB = 5:3), maka kita perlu mencari posisi C relatif terhadap A dan B. Jika AB = 5k dan CB = 3k, maka AC = AB - CB = 5k - 3k = 2k. Sehingga perbandingan AC:CB = 2k:3k = 2:3. Perhitungan di atas menggunakan perbandingan AC:CB = 2:3.