Diketahui persamaan matriks: 2(a 2 -3 1)+(4 -1 0 b)=(3 2 c

Nilai dari ekspresi (a+b+c+d) adalah 11.

Pembahasan

Diberikan persamaan matriks:
2(a 2 -3 1) + (4 -1 0 b) = (3 2 c 4)(2 d 1 3)

Langkah 1: Lakukan perkalian skalar pada matriks pertama di sisi kiri.
(2a 4 -6 2) + (4 -1 0 b) = (3 2 c 4)(2 d 1 3)

Langkah 2: Lakukan penjumlahan matriks di sisi kiri.
(2a+4 4-1 -6+0 2+b) = (3 2 c 4)(2 d 1 3)
(2a+4 3 -6 2+b) = (3 2 c 4)(2 d 1 3)

Langkah 3: Lakukan perkalian matriks di sisi kanan.
(3*2 + 2*2) (3*d + 2*1) (3*1 + 2*3) (3*3 + 2*4) = (6+4) (3d+2) (3+6) (9+8) = (10) (3d+2) (9) (17)
(2*2 + 4*2) (2*d + 4*1) (2*1 + 4*3) (2*3 + 4*4) = (4+8) (2d+4) (2+12) (6+16) = (12) (2d+4) (14) (22)

Ini adalah perkalian matriks 2x2 dengan matriks 2x2. Hasilnya adalah matriks 2x2.
Jika matriks di sebelah kanan adalah hasil perkalian dua matriks, maka persamaannya menjadi:

(2a+4 3 -6 2+b) = [ (3*2+2*2) (3*d+2*1) ]
                        [ (2*2+4*2) (2*d+4*1) ]

Ini adalah interpretasi yang salah karena dimensi matriks tidak sesuai untuk perkalian seperti itu. Mari kita asumsikan perkalian matriks dilakukan secara standar.

Jika persamaan matriks adalah:
2 * [a 2; -3 1] + [4 -1; 0 b] = [3 2; c 4] * [2 d; 1 3]

Sisi kiri:
[2a 4; -6 2] + [4 -1; 0 b] = [2a+4 3; -6 2+b]

Sisi kanan:
[3 2; c 4] * [2 d; 1 3] = [ (3*2 + 2*1) (3*d + 2*3) ]
                          [ (c*2 + 4*1) (c*d + 4*3) ]
                        = [ (6+2) (3d+6) ]
                          [ (2c+4) (cd+12) ]
                        = [ 8 (3d+6) ]
                          [ (2c+4) (cd+12) ]

Menyamakan kedua sisi:
[2a+4 3; -6 2+b] = [ 8 (3d+6); (2c+4) (cd+12) ]

Dari elemen baris 1, kolom 2:
3 = 3d+6
3d = 3 - 6
3d = -3
d = -1

Dari elemen baris 1, kolom 1:
2a+4 = 8
2a = 8 - 4
2a = 4
a = 2

Dari elemen baris 2, kolom 1:
-6 = 2c+4
2c = -6 - 4
2c = -10
c = -5

Dari elemen baris 2, kolom 2:
2+b = cd+12
Substitusikan nilai c dan d:
2+b = (-5)(-1) + 12
2+b = 5 + 12
2+b = 17
b = 17 - 2
b = 15

Jadi, nilai a=2, b=15, c=-5, d=-1.

Ditanya nilai dari ekspresi (a+b+c+d):
a+b+c+d = 2 + 15 + (-5) + (-1)
= 17 - 5 - 1
= 12 - 1
= 11

Perlu diperhatikan bahwa soal asli tertulis "2(a 2 -3 1)" yang bisa diartikan sebagai perkalian skalar atau matriks baris. Jika diinterpretasikan sebagai matriks baris, maka persamaannya menjadi:

[2a 4 -6 2] + [4 -1 0 b] = [3 2 c 4] [2 d 1 3]

Jika perkalian matriks di kanan adalah (baris x kolom), maka dimensinya tidak sesuai.

Asumsi yang paling umum untuk soal matriks seperti ini adalah elemen-elemen dituliskan dalam format kolom atau baris:

Kasus 1: Matriks kolom
2 * [a; 2; -3; 1] + [4; -1; 0; b] = [3; 2; c; 4] * [2; d; 1; 3]
Perkalian matriks kolom dengan matriks kolom lain tidak terdefinisi seperti itu.

Kasus 2: Matriks baris
2 * [a 2 -3 1] + [4 -1 0 b] = [3 2 c 4] * [2 d 1 3]
Perkalian matriks baris dengan matriks baris juga tidak terdefinisi seperti itu.

Kasus 3: Matriks 2x2 yang elemennya diatur.
Ini adalah interpretasi yang paling mungkin.
Matriks 1: [a 2; -3 1]
Matriks 2: [4 -1; 0 b]
Matriks 3: [3 2; c 4]
Matriks 4: [2 d; 1 3]

2 * [a 2; -3 1] + [4 -1; 0 b] = [3 2; c 4] * [2 d; 1 3]

Sudah dihitung di atas dan hasilnya a=2, b=15, c=-5, d=-1. Maka a+b+c+d = 11.

Periksa kembali perkalian matriks di sisi kanan:
[3 2; c 4] * [2 d; 1 3]
Elemen (1,1) = 3*2 + 2*1 = 6 + 2 = 8
Elemen (1,2) = 3*d + 2*3 = 3d + 6
Elemen (2,1) = c*2 + 4*1 = 2c + 4
Elemen (2,2) = c*d + 4*3 = cd + 12

Sisi kiri:
2 * [a 2; -3 1] + [4 -1; 0 b]
Elemen (1,1) = 2*a + 4
Elemen (1,2) = 2*2 + (-1) = 4 - 1 = 3
Elemen (2,1) = 2*(-3) + 0 = -6
Elemen (2,2) = 2*1 + b = 2 + b

Menyamakan elemen:
1,1: 2a + 4 = 8  => 2a = 4 => a = 2
1,2: 3 = 3d + 6  => 3d = -3 => d = -1
2,1: -6 = 2c + 4 => 2c = -10 => c = -5
2,2: 2 + b = cd + 12 => 2 + b = (-5)(-1) + 12 => 2 + b = 5 + 12 => 2 + b = 17 => b = 15

Nilai a=2, b=15, c=-5, d=-1.

a+b+c+d = 2 + 15 - 5 - 1 = 11.

Ada kemungkinan interpretasi lain dari format soal, misalnya "(a 2 -3 1)" adalah matriks 1x4 atau 4x1. Namun, dengan perkalian matriks yang diberikan di sisi kanan, interpretasi matriks 2x2 adalah yang paling konsisten.