Diketahui persegi panjang OACB dan D titik tengah OA. P

CP = -1/3 a - 2/3 b

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal vektor ini, kita perlu menggunakan konsep vektor posisi dan titik tengah.

Diketahui:
Persegi panjang OACB.
O adalah titik asal (0,0).
OA adalah vektor posisi a.
OB adalah vektor posisi b.
Karena OACB adalah persegi panjang, maka vektor AC = vektor OB = b, dan vektor BC = vektor OA = a.

D adalah titik tengah OA.
Jika OA = a, maka vektor OD = (1/2) vektor OA = (1/2)a.

P adalah titik potong CD dengan diagonal AB.

Kita perlu mencari vektor posisi P (vektor OP) terlebih dahulu, lalu menghitung vektor CP.

Persamaan garis CD:
Titik C memiliki vektor posisi OC = OB + BC = b + a.
Titik D memiliki vektor posisi OD = (1/2)a.
Persamaan garis CD dapat ditulis sebagai:
r_CD(t) = OD + t * (OC - OD)
r_CD(t) = (1/2)a + t * ( (a+b) - (1/2)a )
r_CD(t) = (1/2)a + t * ( (1/2)a + b )

Persamaan garis AB:
Titik A memiliki vektor posisi OA = a.
Titik B memiliki vektor posisi OB = b.
Persamaan garis AB dapat ditulis sebagai:
r_AB(s) = OA + s * (OB - OA)
r_AB(s) = a + s * (b - a)

Titik P adalah perpotongan kedua garis, jadi r_CD(t) = r_AB(s).
(1/2)a + t * ( (1/2)a + b ) = a + s * (b - a)

Kelompokkan berdasarkan vektor a dan b:
(1/2)a + (t/2)a + tb = a + sb - sa

(1/2 + t/2)a + tb = (1 - s)a + sb

Karena a dan b adalah vektor yang tidak sejajar (membentuk sisi persegi panjang), koefisien dari a dan b harus sama di kedua sisi.

Untuk koefisien a:
1/2 + t/2 = 1 - s  ---- (1)

Untuk koefisien b:
t = s ---- (2)

Substitusikan (2) ke (1):
1/2 + t/2 = 1 - t

Kalikan seluruh persamaan dengan 2 untuk menghilangkan pecahan:
1 + t = 2 - 2t

Pindahkan semua t ke satu sisi dan konstanta ke sisi lain:
t + 2t = 2 - 1
3t = 1
t = 1/3

Karena t = s, maka s = 1/3.

Sekarang kita dapat menemukan vektor posisi P menggunakan salah satu persamaan garis. Menggunakan persamaan garis CD:
r_CD(t) = (1/2)a + t * ( (1/2)a + b )
Karena P berada pada garis CD, vektor OP = r_CD(t) dengan t = 1/3.

OP = (1/2)a + (1/3) * ( (1/2)a + b )
OP = (1/2)a + (1/6)a + (1/3)b
OP = (3/6)a + (1/6)a + (1/3)b
OP = (4/6)a + (1/3)b
OP = (2/3)a + (1/3)b

Sekarang kita perlu mencari vektor CP.
Vektor CP = OP - OC.
Kita tahu OC = a + b (karena OACB adalah persegi panjang, OC = OA + OB = a + b).

CP = ( (2/3)a + (1/3)b ) - (a + b)
CP = (2/3)a + (1/3)b - a - b
CP = (2/3 - 1)a + (1/3 - 1)b
CP = (2/3 - 3/3)a + (1/3 - 3/3)b
CP = (-1/3)a + (-2/3)b

Jadi, nilai dari vektor CP adalah (-1/3)a - (2/3)b.

Jawaban: CP = (-1/3)a - (2/3)b