Buktikan dengan induksi matematika pernyataan berikut: 3^(2

Terbukti benar untuk n=0, diasumsikan benar untuk n=k, dan dibuktikan benar untuk n=k+1.

Pembahasan

Untuk membuktikan bahwa 3^(2n) - 1 habis dibagi 8 untuk semua bilangan bulat n ≥ 0 menggunakan induksi matematika, kita ikuti langkah-langkah berikut:

Langkah 1: Basis Induksi (Buktikan untuk n=0)
Substitusikan n=0 ke dalam pernyataan: 3^(2*0) - 1 = 3^0 - 1 = 1 - 1 = 0.
Karena 0 habis dibagi 8 (0 = 8 * 0), maka pernyataan tersebut benar untuk n=0.

Langkah 2: Hipotesis Induksi (Asumsikan benar untuk n=k)
Asumsikan bahwa pernyataan 3^(2k) - 1 habis dibagi 8 benar untuk suatu bilangan bulat k ≥ 0. Ini berarti kita dapat menulis 3^(2k) - 1 = 8m, di mana m adalah bilangan bulat.
Dari sini, kita dapatkan 3^(2k) = 8m + 1.

Langkah 3: Langkah Induksi (Buktikan benar untuk n=k+1)
Kita perlu membuktikan bahwa 3^(2(k+1)) - 1 habis dibagi 8.
Substitusikan n = k+1:
3^(2(k+1)) - 1 = 3^(2k+2) - 1
= 3^(2k) * 3^2 - 1
= 3^(2k) * 9 - 1

Sekarang, kita substitusikan 3^(2k) dengan (8m + 1) dari hipotesis induksi:
= (8m + 1) * 9 - 1
= 72m + 9 - 1
= 72m + 8
= 8(9m + 1)

Karena (9m + 1) adalah bilangan bulat (karena m adalah bilangan bulat), maka 8(9m + 1) jelas habis dibagi 8.

Kesimpulan:
Karena pernyataan tersebut benar untuk basis induksi (n=0) dan jika benar untuk n=k maka juga benar untuk n=k+1, maka berdasarkan prinsip induksi matematika, pernyataan 3^(2n) - 1 habis dibagi 8 untuk semua bilangan bulat n ≥ 0 adalah benar.