Diketahui pesamaan garis x-2y + 4 = 0. Tentukan bayangan

a. x - 2y + 16 = 0, b. x - 2y + 8 = 0

Pembahasan

Untuk menentukan bayangan garis x - 2y + 4 = 0 setelah dilatasi, kita perlu mempertimbangkan pusat dilatasi dan faktor skala.

Misalkan titik (x, y) adalah sembarang titik pada garis. Setelah dilatasi dengan pusat O(0, 0) dan faktor skala k, bayangannya adalah (x', y') dimana:
x' = kx
y' = ky

Dari sini, kita dapatkan:
x = x'/k
y = y'/k

Substitusikan nilai x dan y ke dalam persamaan garis:
(x'/k) - 2(y'/k) + 4 = 0

Kalikan kedua sisi dengan k:
x' - 2y' + 4k = 0

Jadi, bayangan garis x - 2y + 4 = 0 setelah dilatasi dengan pusat O(0, 0) dan faktor skala k adalah x - 2y + 4k = 0.

a. Dilatasi dengan pusat O(0, 0) dan faktor skala 4:
Ganti k dengan 4:
x - 2y + 4(4) = 0
x - 2y + 16 = 0

b. Dilatasi dengan pusat P(2, 1) dan faktor skala 2:
Untuk dilatasi dengan pusat P(a, b) dan faktor skala k, transformasi untuk titik (x, y) ke bayangannya (x', y') adalah:
x' - a = k(x - a)
y' - b = k(y - b)

Dengan pusat P(2, 1) dan faktor skala k = 2:
x' - 2 = 2(x - 2)  => x' - 2 = 2x - 4  => x = (x' + 2)/2
y' - 1 = 2(y - 1)  => y' - 1 = 2y - 2  => y = (y' + 1)/2

Substitusikan nilai x dan y ke dalam persamaan garis x - 2y + 4 = 0:
((x' + 2)/2) - 2((y' + 1)/2) + 4 = 0

Kalikan kedua sisi dengan 2:
(x' + 2) - 2(y' + 1) + 8 = 0
x' + 2 - 2y' - 2 + 8 = 0
x' - 2y' + 8 = 0

Jadi, bayangan garis x - 2y + 4 = 0 setelah dilatasi dengan pusat P(2, 1) dan faktor skala 2 adalah x - 2y + 8 = 0.