Diketahui polinomial x^4-ax^3+(a-3)x^2+3x+2a habis dibagi

Nilai a adalah 5 dan sisa pembagiannya adalah -47x + 94.

Pembahasan

Untuk menghitung nilai a, kita gunakan teorema sisa. Jika polinomial P(x) habis dibagi oleh (x-c), maka P(c) = 0.
Dalam kasus ini, polinomialnya adalah P(x) = x^4 - ax^3 + (a-3)x^2 + 3x + 2a dan pembaginya adalah (x-2). Maka, P(2) = 0.

P(2) = (2)^4 - a(2)^3 + (a-3)(2)^2 + 3(2) + 2a = 0
16 - 8a + (a-3)(4) + 6 + 2a = 0
16 - 8a + 4a - 12 + 6 + 2a = 0
-2a + 10 = 0
-2a = -10
a = 5

Selanjutnya, kita tentukan sisa pembagian polinomial tersebut oleh x^2 + x - 6. Pertama, faktorkan pembaginya: x^2 + x - 6 = (x+3)(x-2).
Karena polinomial tersebut habis dibagi (x-2), maka sisa pembagian oleh (x+3)(x-2) juga dapat ditentukan dengan mengevaluasi polinomial pada akar-akarnya.
Kita sudah tahu bahwa P(2) = 0.
Sekarang kita perlu mencari P(-3).
P(-3) = (-3)^4 - a(-3)^3 + (a-3)(-3)^2 + 3(-3) + 2a
Gantilah a dengan 5:
P(-3) = (-3)^4 - 5(-3)^3 + (5-3)(-3)^2 + 3(-3) + 2(5)
P(-3) = 81 - 5(-27) + (2)(9) - 9 + 10
P(-3) = 81 + 135 + 18 - 9 + 10
P(-3) = 235

Misalkan sisa pembagian adalah Rx + S. Maka P(x) = Q(x)(x^2+x-6) + Rx + S.
Untuk x = 2: P(2) = Q(2)(0) + R(2) + S = 2R + S. Kita tahu P(2) = 0, jadi 2R + S = 0.
Untuk x = -3: P(-3) = Q(-3)(0) + R(-3) + S = -3R + S. Kita tahu P(-3) = 235, jadi -3R + S = 235.

Sekarang kita punya sistem persamaan:
1) 2R + S = 0
2) -3R + S = 235

Kurangi persamaan (1) dari persamaan (2):
(-3R + S) - (2R + S) = 235 - 0
-5R = 235
R = -47

Substitusikan R = -47 ke persamaan (1):
2(-47) + S = 0
-94 + S = 0
S = 94

Jadi, sisa pembagiannya adalah -47x + 94.