Diketahui prisma tegak segitiga sama sisi PQR . STU dengan

4√3 cm

Pembahasan

Diketahui prisma tegak segitiga sama sisi PQR.STU dengan PQ = 4 cm dan PS = 6 cm. M terletak di tengah-tengah SU.

Karena alasnya adalah segitiga sama sisi PQR, maka PQ = QR = RP = 4 cm.
Karena prisma tegak, maka rusuk tegaknya tegak lurus dengan alas, sehingga PS = QU = RT = 6 cm.

Titik M terletak di tengah-tengah SU. S dan U adalah titik sudut dari sisi tegak prisma. SU adalah diagonal dari sisi tegak prisma yang berbentuk persegi panjang PQRS atau TURS.

Mari kita perhatikan sisi tegak PQRS. PQ = 4 cm dan PS = 6 cm. Titik U berada pada sisi tegak yang berhadapan dengan PQRS. Jika kita menganggap alasnya adalah PQR dan sisi atasnya adalah STU, maka S berkorespondensi dengan P, T dengan Q, dan U dengan R.

Jadi, kita memiliki alas segitiga PQR dengan PQ = 4 cm. Sisi tegak yang menghubungkan P dengan S, Q dengan T, dan R dengan U adalah rusuk tegak sepanjang 6 cm.

Kita perlu mencari jarak titik Q ke M. Titik M terletak di tengah-tengah SU. Sisi tegak yang mengandung SU adalah sisi tegak yang berhubungan dengan rusuk QR.

Jika kita menganggap alas bawah adalah PQR dan alas atas adalah STU, maka:
P berkorespondensi dengan S
Q berkorespondensi dengan T
R berkorespondensi dengan U

Ini berarti PQ = ST = 4 cm, QR = TU = 4 cm, dan RP = SU = 4 cm (jika alasnya segitiga sama sisi). Namun, soal menyatakan PQ = 4 cm dan PS = 6 cm. Ini mengindikasikan bahwa PQR adalah alas segitiga dan PS adalah tinggi prisma.

Mari kita klarifikasi struktur prisma:
Alas: Segitiga PQR (sama sisi, PQ = 4 cm)
Sisi Tegak 1: Persegi panjang PQTS (PQ=4, PS=6)
Sisi Tegak 2: Persegi panjang QRUT (QR=4, QT=6)
Sisi Tegak 3: Persegi panjang RUPS (RP=4, RU=6)

Titik M terletak di tengah-tengah SU. SU adalah rusuk tegak yang menghubungkan S (di alas atas) dengan R (di alas bawah). Ini membingungkan karena biasanya SU adalah rusuk alas atas atau diagonal sisi tegak.

Asumsi yang lebih mungkin adalah: PQR adalah alas bawah, dan STU adalah alas atas. Maka PS, QT, RU adalah rusuk tegak.
PQ = 4 cm (sisi alas segitiga sama sisi)
PS = 6 cm (tinggi prisma)

Titik M terletak di tengah-tengah SU. SU adalah rusuk pada alas atas yang berkorespondensi dengan rusuk PQ pada alas bawah.
Karena segitiga PQR sama sisi, maka PQ = QR = RP = 4 cm.
Karena prisma tegak, alas atas STU juga segitiga sama sisi, dan ST = TU = US = 4 cm.
Rusuk tegak PS = QT = RU = 6 cm.

Titik M adalah titik tengah SU. Jadi, SM = MU = SU/2 = 4/2 = 2 cm.

Kita perlu mencari jarak titik Q ke M.
Q adalah titik pada alas bawah. M adalah titik pada alas atas.

Untuk mencari jarak Q ke M, kita bisa menggunakan teorema Pythagoras dalam ruang.
Kita perlu menentukan koordinat titik-titik tersebut atau menggunakan vektor.

Alternatif lain: proyeksikan M ke bidang alas PQR. Misalkan proyeksi M ke bidang PQR adalah M'.
Karena prisma tegak, M' akan berada pada proyeksi rusuk SU ke bidang alas. Namun, SU adalah rusuk alas atas.

Mari kita gunakan pendekatan lain: Bentuk segitiga siku-siku yang melibatkan Q, M, dan sebuah titik bantu.

Pertimbangkan titik T, yang berada di atas Q (QT = 6 cm).
Sekarang kita punya titik Q di alas bawah, dan titik M di alas atas. Titik M adalah tengah-tengah SU.

Jarak QM^2 = (Proyeksi QM pada bidang alas)^2 + (Tinggi perbedaan antara Q dan M)^2

Tinggi perbedaan antara Q dan M adalah tinggi prisma, yaitu 6 cm (karena M ada di alas atas dan Q di alas bawah).

Sekarang kita perlu mencari jarak proyeksi M ke bidang alas PQR, dari titik Q.

Karena STU adalah segitiga sama sisi di atas PQR, dan M adalah titik tengah SU, kita perlu mencari posisi M relatif terhadap Q.

Mari kita tempatkan P pada (0, 0, 0).
Karena PQR sama sisi dengan sisi 4:
R bisa di (4, 0, 0).
Q bisa di (2, 2√3, 0).

S berada di atas P, jadi S = (0, 0, 6).
T berada di atas Q, jadi T = (2, 2√3, 6).
U berada di atas R, jadi U = (4, 0, 6).

Titik M adalah titik tengah SU.
M = ((S_x + U_x)/2, (S_y + U_y)/2, (S_z + U_z)/2)
M = ((0 + 4)/2, (0 + 0)/2, (6 + 6)/2)
M = (4/2, 0/2, 12/2)
M = (2, 0, 6)

Sekarang kita cari jarak dari Q ke M.
Q = (2, 2√3, 0)
M = (2, 0, 6)

Jarak QM = sqrt((M_x - Q_x)^2 + (M_y - Q_y)^2 + (M_z - Q_z)^2)
QM = sqrt((2 - 2)^2 + (0 - 2√3)^2 + (6 - 0)^2)
QM = sqrt(0^2 + (-2√3)^2 + 6^2)
QM = sqrt(0 + (4 * 3) + 36)
QM = sqrt(12 + 36)
QM = sqrt(48)

Untuk menyederhanakan √48:
√48 = √(16 * 3) = √16 * √3 = 4√3.

Jadi, jarak titik Q ke M adalah 4√3 cm.