Diketahui sebuah kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 10

$5\sqrt{6}$ cm

Pembahasan

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 10 cm. Kita perlu menentukan jarak titik F ke garis AC.

1.  **Identifikasi Titik dan Garis:**
    *   Titik F berada di bagian atas kubus.
    *   Garis AC adalah diagonal bidang alas ABCD.

2.  **Buat Proyeksi:**
    Kita perlu mencari jarak terpendek dari titik F ke garis AC. Jarak terpendek ini adalah panjang garis tegak lurus dari F ke AC. Misalkan proyeksi titik F pada bidang alas adalah titik F' (yang sama dengan F karena F sudah di bidang atas), dan kita perlu mencari proyeksi F pada garis AC. Namun, ini tidak langsung. Cara yang lebih mudah adalah dengan menggunakan segitiga siku-siku yang melibatkan titik F dan garis AC.

3.  **Gunakan Jarak Titik ke Garis dalam Ruang:**
    Pertimbangkan segitiga siku-siku yang dibentuk oleh titik F, titik C, dan titik proyeksi F pada bidang alas yang kita sebut O (pusat persegi ABCD). Sebenarnya ini lebih rumit.

    Cara yang lebih efisien adalah dengan mempertimbangkan segitiga siku-siku AFC. 
    *   AC adalah diagonal alas: $AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{10^2 + 10^2} = \sqrt{200} = 10\sqrt{2}$ cm.
    *   FC adalah rusuk kubus: $FC = 10$ cm.
    *   AF adalah diagonal bidang ABFE: $AF = \sqrt{AB^2 + BF^2} = \sqrt{10^2 + 10^2} = \sqrt{200} = 10\sqrt{2}$ cm.

    Segitiga AFC adalah segitiga siku-siku di C jika kita melihat bidang ACGF. Tapi kita mencari jarak dari F ke AC.

    Mari kita tinjau segitiga AFH. Diagonal ruang AH = $\sqrt{10^2+10^2+10^2} = 10\sqrt{3}$.

    Cara yang benar adalah dengan mencari jarak dari F ke bidang ACGE, lalu mencari jarak dari F ke AC dalam bidang tersebut. 
    Titik F berada pada bidang BCGF.
    Garis AC berada pada bidang ABCD.

    Misalkan kita ambil titik P pada AC sehingga FP tegak lurus AC. 
    Perhatikan segitiga siku-siku FBC, FC = $10\sqrt{2}$.
    Perhatikan segitiga siku-siku ABC, AC = $10\sqrt{2}$.

    Perhatikan segitiga siku-siku FAC, dengan siku-siku di C (jika kita membayangkan bidang ACGF). Maka $FA = 10\sqrt{2}$ dan $FC = 10$. $AC = 10\sqrt{2}$. Ini bukan segitiga siku-siku.

    Mari kita gunakan koordinat.
    Misal A = (0,0,0), B = (10,0,0), C = (10,10,0), D = (0,10,0)
    E = (0,0,10), F = (10,0,10), G = (10,10,10), H = (0,10,10)

    Titik F = (10,0,10)
    Garis AC melalui A(0,0,0) dan C(10,10,0).
    Vektor arah garis AC adalah $\vec{AC} = C - A = (10, 10, 0)$.
    Persamaan garis AC: $r = A + t \vec{AC} = (0,0,0) + t(10,10,0) = (10t, 10t, 0)$.

    Misalkan P adalah titik pada garis AC sehingga FP tegak lurus AC.
    Vektor $\vec{FP} = P - F = (10t, 10t, 0) - (10,0,10) = (10t-10, 10t, -10)$.

    Agar FP tegak lurus AC, maka $\vec{FP} \cdot \vec{AC} = 0$.
    $(10t-10, 10t, -10) \cdot (10, 10, 0) = 0$
    $10(10t-10) + 10(10t) + 0(-10) = 0$
    $100t - 100 + 100t = 0$
    $200t = 100$
    $t = 1/2$

    Maka titik P adalah:
    $P = (10(1/2), 10(1/2), 0) = (5, 5, 0)$.

    Jarak titik F ke garis AC adalah panjang vektor $\vec{FP}$.
    $\vec{FP} = (10(1/2)-10, 10(1/2), -10) = (5-10, 5, -10) = (-5, 5, -10)$.

    Jarak $FP = \sqrt{(-5)^2 + 5^2 + (-10)^2}$
    $FP = \sqrt{25 + 25 + 100}$
    $FP = \sqrt{150}$
    $FP = \sqrt{25 \times 6}$
    $FP = 5\sqrt{6}$ cm.

    Jadi, jarak titik F ke AC adalah $5\sqrt{6}$ cm.