Diketahui sebuah kubus ABCD.EFGH. P terletak pada

Perbandingan volume kubus yang dipotong bidang APQ adalah 1:1.

Pembahasan

Untuk menentukan perbandingan volume kubus yang dipotong oleh bidang APQ, kita perlu memvisualisasikan kubus dan titik-titik yang diberikan. Kubus ABCD.EFGH memiliki titik A pada alas dan E pada bidang atas. P adalah pertengahan AE, sehingga AP = PE = 1/2 rusuk kubus. Q adalah pertengahan CG, sehingga CQ = QG = 1/2 rusuk kubus. Bidang APQ akan memotong kubus. Kita bisa menghitung volume salah satu bagian yang terbentuk. Misalkan panjang rusuk kubus adalah 's'. Volume kubus adalah s³. Bidang APQ memotong rusuk AB di A, rusuk AD di A (karena A, P, Q terletak pada bidang yang sama, kita perlu menentukan bagaimana bidang ini memotong rusuk lainnya). Perlu diingat bahwa A, P, Q membentuk sebuah bidang. Bidang ini akan memotong kubus menjadi dua bagian. Salah satu bagian adalah prisma dengan alas segitiga siku-siku di A (dengan tinggi AP dan lebar AD) dan sisi atasnya adalah garis PQ. Cara lain untuk memvisualisasikan adalah dengan melihat bahwa bidang APQ akan memotong rusuk DH di titik H' dan rusuk BC di titik B'. Titik A, P, Q, serta titik potong pada DH dan BC akan membentuk sebuah bidang. Bidang ini membagi kubus. Untuk menghitung perbandingannya, kita bisa menganggap kubus berada dalam sistem koordinat. Misalkan A=(0,0,0), B=(s,0,0), D=(0,s,0), E=(0,0,s), C=(s,s,0), G=(s,s,s). Maka P adalah pertengahan AE, jadi P=(0,0,s/2). Q adalah pertengahan CG, jadi Q=(s,s,s/2). Bidang yang melalui A(0,0,0), P(0,0,s/2), Q(s,s,s/2) memiliki persamaan. Vektor AP = (0,0,s/2), Vektor AQ = (s,s,s/2). Normal bidang = AP x AQ = (s²/4, s²/2, 0). Persamaan bidang: (s²/4)x + (s²/2)y = 0, atau x + 2y = 0. Bidang ini memotong kubus. Namun, interpretasi bidang APQ yang membagi kubus biasanya mengacu pada bidang yang melalui titik A, P, dan Q yang memotong sisi-sisi kubus lainnya. Titik A adalah titik sudut. Titik P pada AE (rusuk tegak). Titik Q pada CG (rusuk tegak). Bidang APQ akan memotong rusuk BC di suatu titik R dan rusuk DH di suatu titik S. Sehingga terbentuk penampang APQS. Jika kita perhatikan, AP sejajar dengan DQ. PQ sejajar dengan AD dan BC. Bidang APQ sejajar dengan bidang ADGF. Ini berarti bidang APQ tidak memotong rusuk lain selain AE dan CG. Perlu diklarifikasi pemahaman soal. Jika bidang yang dimaksud adalah bidang yang melalui A, P, dan Q, maka bidang ini akan memotong rusuk BC di titik B dan rusuk DH di titik D jika P dan Q berada di AE dan CG. Tapi P di AE dan Q di CG. Maka bidang APQ akan memotong rusuk BC di sebuah titik R dan rusuk DH di sebuah titik S. Jika kita menganggap bidang melalui A, P, dan Q, maka ini akan memotong rusuk BF di suatu titik F' dan rusuk DH di suatu titik H'. Dengan A=(0,0,0), E=(0,0,s), P=(0,0,s/2). C=(s,s,0), G=(s,s,s), Q=(s,s,s/2). Bidang yang melalui A, P, Q memiliki normal (0,0,1) x (s,s,s/2) = (-s²/2, 0, 0). Persamaan bidang: -s²/2 * x = 0 -> x = 0. Ini hanya bidang ADHE. Ini tidak sesuai. Mari kita asumsikan bidang tersebut memotong rusuk BC di titik R dan rusuk DH di titik S. Maka APQRDS adalah bidang potong. Dengan P pertengahan AE dan Q pertengahan CG. Bidang APQ akan memotong rusuk BC di titik yang sama dengan C (jika kita perpanjang) dan rusuk DH di titik yang sama dengan D (jika kita perpanjang). Asumsi umum untuk soal seperti ini adalah bidang tersebut memotong rusuk-rusuk yang