Diketahui segitiga ABC dengan A(1,4,6), B(1,0,2), dan

$3\\sqrt{19}$

Pembahasan

Untuk menentukan panjang vektor PC, kita perlu mencari koordinat titik P terlebih dahulu, kemudian menghitung vektor PC, dan terakhir mencari panjang vektor tersebut.

Diketahui titik A(1,4,6) dan B(1,0,2).
Titik P terletak pada perpanjangan vektor AB sehingga AP:BP = 3:2.
Ini berarti P membagi ruas garis AB di luar dengan perbandingan 3:(-2) atau P dapat dinyatakan sebagai:
P = (mB - nA) / (m - n), dengan m=3 dan n=2.
Atau dapat juga diartikan bahwa P berada di luar AB sehingga AP = (3/2) AB.

Mari kita gunakan vektor posisi:
$\\vec{a} = (1, 4, 6)$
$\\vec{b} = (1, 0, 2)$

P membagi AB dalam perbandingan 3:2 pada perpanjangan, yang berarti P berada di luar segmen AB.
Jika P membagi AB dengan perbandingan m:n, maka P = (nA + mB) / (n + m).
Namun, karena P pada perpanjangan AB, ini berarti P membagi AB eksternal dengan rasio 3:2, yang bisa ditulis $\\vec{AP} = k \\vec{AB}\\$. Dari perbandingan AP:BP = 3:2, kita bisa melihat bahwa BP adalah 2 bagian sementara AP adalah 3 bagian. Ini berarti P lebih dekat ke B jika diukur dari A. Namun, karena pada perpanjangan, P berada di luar garis AB. Misalkan P membagi AB secara eksternal dengan rasio 3:2. Maka perbandingannya adalah 3:(-2).

$\\vec{p} = \\frac{n\\vec{a} - m\\vec{b}}{n-m}\\$ (untuk perbandingan m:n eksternal)
$\\vec{p} = \\frac{2\\vec{a} - 3\\vec{b}}{2-3} = \\frac{2(1, 4, 6) - 3(1, 0, 2)}{-1}\\$ 
$\\vec{p} = \\frac{(2, 8, 12) - (3, 0, 6)}{-1} = \\frac{(-1, 8, 6)}{-1} = (1, -8, -6)\\$ 

Jadi, koordinat titik P adalah (1, -8, -6).

Selanjutnya, kita perlu mencari vektor PC. Titik C adalah (2, -1, 5).
$\\vec{PC} = \\vec{c} - \\vec{p} = (2, -1, 5) - (1, -8, -6)\\$ 
$\\vec{PC} = (2-1, -1-(-8), 5-(-6)) = (1, 7, 11)\\$ 

Terakhir, kita hitung panjang vektor PC:
Panjang $\\vec{PC}\\ = |\\vec{PC}\\|
$|\\vec{PC}\\|
= \\sqrt{(1)^2 + (7)^2 + (11)^2}\\$ 
$|\\vec{PC}\\|
= \\sqrt{1 + 49 + 121}\\$ 
$|\\vec{PC}\\|
= \\sqrt{171}\\$ 

Untuk menyederhanakan $\\sqrt{171}\\$: 171 = 9 * 19. Jadi, $\\sqrt{171} = \\sqrt{9 * 19} = 3\\sqrt{19}$.

Jadi, panjang vektor PC adalah $\\sqrt{171}$ atau $3\\sqrt{19}$.