Diketahui segitiga ABC. Titik P di tengah AC dan Q pada BC

Dengan menggunakan sifat vektor dan asumsi konsistensi arah, nilai PQ adalah 1/2 vektor c.

Pembahasan

Diberikan segitiga ABC dengan titik P di tengah AC dan Q pada BC sehingga BQ = QC. Diketahui vektor AB = vektor c, vektor AC = vektor b, dan vektor BC = vektor a.

Kita perlu mencari nilai vektor PQ.

Untuk mencari vektor PQ, kita bisa menggunakan hubungan antar vektor:

vektor PQ = vektor PA + vektor AB + vektor BQ

atau

vektor PQ = vektor PC + vektor CB + vektor BQ

atau

vektor PQ = vektor AC - vektor AP + vektor BQ (Ini kurang tepat karena arahnya tidak sesuai)

Mari kita gunakan pendekatan:
vektor PQ = vektor CA + vektor AP + vektor BQ (Ini juga tidak tepat)

Kita tahu bahwa:

vektor AC = vektor b
vektor AB = vektor c
vektor BC = vektor a

Karena P adalah titik tengah AC, maka:
vektor AP = 1/2 * vektor AC = 1/2 * vektor b

Karena Q pada BC sehingga BQ = QC, ini berarti Q adalah titik tengah BC. Namun, soal menyatakan BQ = QC yang berarti Q adalah titik tengah BC. Jika BQ=QC, maka Q adalah titik tengah BC.

Jika Q adalah titik tengah BC, maka:
vektor BQ = 1/2 * vektor BC = 1/2 * vektor a

Sekarang kita cari vektor PQ:
vektor PQ = vektor PA + vektor AB + vektor BQ

Kita perlu vektor PA. Vektor PA adalah negatif dari vektor AP:
vektor PA = -vektor AP = -1/2 * vektor b

Maka:
vektor PQ = (-1/2 * vektor b) + vektor c + (1/2 * vektor a)
vektor PQ = 1/2 * vektor a + vektor c - 1/2 * vektor b

Periksa ulang dengan cara lain:
vektor PQ = vektor AC + vektor CQ

Kita perlu vektor CQ. Vektor CQ adalah negatif dari vektor QC. Jika Q adalah titik tengah BC, maka vektor BQ = vektor QC = 1/2 * vektor BC = 1/2 * vektor a. Arah vektor CQ adalah berlawanan dengan vektor BC.

vektor CQ = -vektor QC = -1/2 * vektor a

Jadi:
vektor PQ = vektor AC + vektor CQ
vektor PQ = vektor b + (-1/2 * vektor a)
vektor PQ = vektor b - 1/2 * vektor a

Ada perbedaan hasil. Mari kita tinjau ulang informasi soal.

Soal menyatakan: "Q pada BC sehingga BQ=QC". Ini secara definisi berarti Q adalah titik tengah segmen garis BC. Oleh karena itu, vektor BQ = vektor QC = 1/2 * vektor BC.

Namun, perlu diperhatikan bahwa vektor BC = vektor a. Arah vektor a adalah dari B ke C.

Jika vektor BQ = 1/2 * vektor BC, maka vektor BQ = 1/2 * vektor a.

Sekarang kita kembali ke mencari vektor PQ:

Kita bisa menggunakan jalur dari P ke Q:

vektor PQ = vektor PC + vektor CQ

Karena P adalah titik tengah AC:
vektor PC = 1/2 * vektor AC = 1/2 * vektor b

Karena Q adalah titik tengah BC:
vektor CQ = 1/2 * vektor BC = 1/2 * vektor a

Jadi, vektor PQ = 1/2 * vektor b + 1/2 * vektor a = 1/2 (vektor a + vektor b).

Mari kita coba jalur lain:
vektor PQ = vektor PB + vektor BQ

Kita perlu vektor PB. Vektor PB = vektor AB - vektor AP
vektor AP = 1/2 * vektor AC = 1/2 * vektor b
vektor PB = vektor c - 1/2 * vektor b

vektor BQ = 1/2 * vektor BC = 1/2 * vektor a

vektor PQ = (vektor c - 1/2 * vektor b) + 1/2 * vektor a
vektor PQ = 1/2 * vektor a - 1/2 * vektor b + vektor c

Ada inkonsistensi. Mari kita periksa kembali definisi vektor BC.

Jika vektor AB = c, vektor AC = b, maka vektor BC = vektor AC - vektor AB = b - c.

Soal menyatakan vektor BC = vektor a. Ini berarti a = b - c.

Sekarang kita gunakan informasi ini:

P di tengah AC, maka vektor AP = 1/2 * vektor AC = 1/2 * b
Q di BC sehingga BQ = QC, maka Q adalah titik tengah BC. Vektor BQ = 1/2 * vektor BC = 1/2 * a.

Kita cari vektor PQ:

vektor PQ = vektor PA + vektor AB + vektor BQ
vektor PA = -vektor AP = -1/2 * b
vektor PQ = -1/2 * b + c + 1/2 * a
vektor PQ = 1/2 * a + c - 1/2 * b

Substitusikan a = b - c:
vektor PQ = 1/2 * (b - c) + c - 1/2 * b
vektor PQ = 1/2 * b - 1/2 * c + c - 1/2 * b
vektor PQ = 1/2 * c

Sekarang coba jalur lain:

vektor PQ = vektor PC + vektor CQ
vektor PC = 1/2 * vektor AC = 1/2 * b
vektor CQ = 1/2 * vektor CB
vektor CB = -vektor BC = -a
vektor CQ = 1/2 * (-a) = -1/2 * a

vektor PQ = 1/2 * b + (-1/2 * a)
vektor PQ = 1/2 * b - 1/2 * a

Substitusikan a = b - c:
vektor PQ = 1/2 * b - 1/2 * (b - c)
vektor PQ = 1/2 * b - 1/2 * b + 1/2 * c
vektor PQ = 1/2 * c

Kedua cara memberikan hasil yang sama jika kita mengasumsikan vektor BC = b - c.

Namun, soal secara eksplisit menyatakan "BC = vektor a". Ini berarti kita harus menggunakan vektor a sebagai BC.

Jika vektor AB = c, vektor AC = b, vektor BC = a.

P di tengah AC, maka vektor AP = 1/2 * vektor b.
Q di BC sehingga BQ = QC, maka Q adalah titik tengah BC. Maka vektor BQ = 1/2 * vektor BC = 1/2 * a.

Cari vektor PQ:

vektor PQ = vektor PA + vektor AB + vektor BQ
vektor PA = -vektor AP = -1/2 * b
vektor PQ = -1/2 * b + c + 1/2 * a
vektor PQ = 1/2 * a + c - 1/2 * b

Jika kita tidak menggunakan hubungan a = b - c, maka jawaban ini adalah yang paling langsung berdasarkan informasi yang diberikan.

Mari kita coba jalur:
vektor PQ = vektor AC + vektor CQ
vektor CQ = -vektor QC. Karena BQ = QC, maka vektor QC = 1/2 * vektor BC = 1/2 * a. Jadi vektor CQ = -1/2 * a.
vektor PQ = b + (-1/2 * a)
vektor PQ = b - 1/2 * a

Ada lagi inkonsistensi. Hal ini mungkin disebabkan oleh interpretasi arah vektor atau hubungan antar vektor.

Dalam soal vektor, penting untuk konsisten dengan arah.

Misalkan titik A adalah titik asal (0,0).
vektor AB = c
vektor AC = b

vektor BC = vektor AC - vektor AB = b - c.

Soal menyatakan vektor BC = a. Jadi, a = b - c.

P di tengah AC, maka vektor AP = 1/2 * vektor AC = 1/2 * b.

Q di BC sehingga BQ = QC, berarti Q adalah titik tengah BC.
vektor AQ = 1/2 * (vektor AB + vektor AC) - ini jika P adalah titik tengah BC.

Jika Q adalah titik tengah BC:
vektor BQ = 1/2 * vektor BC = 1/2 * a.

Kita ingin vektor PQ. Kita bisa gunakan:
vektor PQ = vektor PB + vektor BQ

vektor PB = vektor AB - vektor AP = c - 1/2 * b.
vektor BQ = 1/2 * a.

vektor PQ = (c - 1/2 * b) + 1/2 * a
vektor PQ = 1/2 * a - 1/2 * b + c

Sekarang substitusikan a = b - c:

vektor PQ = 1/2 * (b - c) - 1/2 * b + c
vektor PQ = 1/2 * b - 1/2 * c - 1/2 * b + c
vektor PQ = 1/2 * c

Jawaban yang paling mungkin, dengan asumsi konsistensi vektor, adalah 1/2 * c.