Diketahui sin A=7/25 untuk pi/2<A<pi dan cos B=5/13 untuk

Nilai tan(A-B) adalah -323/36.

Pembahasan

Untuk mencari nilai tan(A-B), kita perlu menggunakan identitas trigonometri tan(A-B) = (tan A - tan B) / (1 + tan A * tan B).

Kita diberikan:
sin A = 7/25, dengan π/2 < A < π (Kuadran II)
cos B = 5/13, dengan 0 < B < π/2 (Kuadran I)

Langkah 1: Cari nilai cos A dan tan A.
Karena A di Kuadran II, sin A positif dan cos A negatif.
Kita gunakan identitas sin²A + cos²A = 1.
(7/25)² + cos²A = 1
49/625 + cos²A = 1
cos²A = 1 - 49/625
cos²A = (625 - 49) / 625
cos²A = 576 / 625
cos A = -√(576/625) = -24/25 (karena A di Kuadran II, cos A negatif)

Sekarang cari tan A:
tan A = sin A / cos A = (7/25) / (-24/25) = 7 / -24 = -7/24

Langkah 2: Cari nilai sin B dan tan B.
Karena B di Kuadran I, sin B dan cos B keduanya positif.
Kita gunakan identitas sin²B + cos²B = 1.
sin²B + (5/13)² = 1
sin²B + 25/169 = 1
sin²B = 1 - 25/169
sin²B = (169 - 25) / 169
sin²B = 144 / 169
sin B = √(144/169) = 12/13

Sekarang cari tan B:
tan B = sin B / cos B = (12/13) / (5/13) = 12 / 5

Langkah 3: Hitung tan(A-B).
Dengan tan A = -7/24 dan tan B = 12/5.
tan(A-B) = (tan A - tan B) / (1 + tan A * tan B)
tan(A-B) = (-7/24 - 12/5) / (1 + (-7/24) * (12/5))

Samakan penyebut untuk pembilang:
-7/24 - 12/5 = (-7*5 - 12*24) / (24*5) = (-35 - 288) / 120 = -323 / 120

Hitung penyebut:
1 + (-7/24) * (12/5) = 1 - (7*12) / (24*5) = 1 - 84 / 120
1 - 84/120 = (120 - 84) / 120 = 36 / 120

Sekarang bagi pembilang dengan penyebut:
tan(A-B) = (-323 / 120) / (36 / 120)
tan(A-B) = -323 / 36

Jadi, nilai tan(A-B) adalah -323/36.